Построение неполной квадратичной регрессионной модели по результатам полного факторного эксперимента (стр. 4 из 6)
После определения построчных дисперсий производят проверку воспроизводимости экспериментальных данных. Проверка выполняется в том случае, если имеет место дублирование опытов, что является обязательным правилом при проведении планированного эксперимента. На этой стадии проверяется гипотеза о постоянстве дисперсии шума с использованием критерия Кохрена. Проверка данной гипотезы позволяет судить об однородности или неоднородности ряда дисперсий. Если ряд дисперсий однороден, различные значения функции отклика (y) определяются с одинаковой точностью. Если ряд дисперсий неоднороден, различные значения функции отклика (y) определяются с разной точностью.
Процедура проверки статистических гипотез в общем случае формально предусматривает сравнение некоторого критерия, рассчитанного по экспериментальным данным, с его табличным значением при выбранном заранее уровне значимости a. Уровень значимости a определяет наибольшую вероятность отвергнуть правильную гипотезу, т. е. наибольшую вероятность предположения о том, что экспериментальный результат ошибочен. Например, если уровень значимости выбирают равным 0,05 (что, очень часто делается в технических задачах), то это означает, что допускается 5%-ная вероятность неверного решения и доверительная 95%-ная вероятность верного.
Если найденное по экспериментальным данным значение критерия попадает в область, соответствующую уровню значимости, то проверяемая гипотеза неверна и ее следует отвергнуть, совершив ошибку с вероятностью a. Если же экспериментальное значение критерия попадает в область, соответствующую вероятности (1-a), то проверяемую гипотезу принимают, совершив ошибку, связанную уже с альтернативной гипотезой.
Расчетное значение критерия Кохрена рассчитывается по формуле:
, (4)где
- наибольшая в ряду дисперсия, которую сравнивают со значением G - критерия, взятым из табл. А1 (приложение А) в зависимости от уровня значимости a, числа степеней свободы fu и числа опытов N: G(a; fu; N). В рассматриваемом случае fu = 2; N = 8.Из табл. 4 находим максимальную построчную дисперсию
и 
Тогда G pacч = 27,93/78,4 = 0,356.Приняв значение уровня значимости a = 0,05, для числа степеней свободы fu = 2 и числа опытов N = 8 получим следующее табличное значение G-критерия:
.Если G pacч <
, ряд дисперсий однороден. Если G pacч> 
, ряд дисперсий неоднороден.В рассматриваемом примере G pacч>
, т.е. ряд дисперсий неоднороден. Обычно такая ситуация возникает, если среди анализируемых экспериментальных данных имеются грубые ошибки или промахи, связанные с ошибками, допущенными при проведении эксперимента. В таком случае эксперимент следует повторить, тщательно проанализировав его с методологической точки зрения и уделив особое внимание методике сбора и обработки экспериментальных данных. Если при тщательном анализе экспериментальных данных грубых ошибок и промахов не выявлено, неоднородность ряда дисперсий означает, что значения функции отклика (y) действительно определены с разной точностью, однако в каждом отдельном опыте уровень шумов (ошибок) не выходит за границы допустимых значений. Именно такой вывод справедлив для результатов измерений и расчетов, представленных в табл. 4. Во всех дублях значения функции отклика 
очень плотно группируются относительно средних значений 
.4. Расчет коэффициентов регрессии
Модель изучаемого процесса представим в виде обобщенного уравнения:
y = b0 + S(biXi) + S(bijXiXj) + b123X1X2X3. (5)
Применительно к трехфакторному эксперименту уравнение (5) можно записать в виде:
y = b0 + b1X1 + b2X2 + b3X3 + b12X1Х2 + b13X1Х3 + b23X2Х3 + b123X1X2X3, (6)
где X1, X2, X3 – кодированные значения уровней факторов (табл. 3). Кодированные значения уровней факторов в уравнении (6) могут принимать значения +1 и -1.
Коэффициенты уравнения регрессии (6) рассчитываются по зависимости:
(7)где u - номер опыта;
- кодированные значения уровней варьируемых факторов /независимых переменных X1(Al), X2(Mn), X3(С) / (табл. 3); 
- средние арифметические значения функции отклика (интенсивности изнашивания) (табл. 4).Распишем уравнение (7) для всех коэффициентов, входящих в регрессионную модель (6):
(8) 
Для расчета коэффициентов регрессии составим расширенную матрицу планирования (табл. 5).
Таблица 5
Расширенная матрица плана 23
| Номеропыта | Х0 | Х1 | Х2 | Х3 | Х4 = Х1 Х2 | Х5 = Х1 Х3 | Х6= Х2 Х3 | Х7 = Х1 Х2 Х3 | , г/см2 |
| 1 | +1 | -1 | -1 | -1 | +1 | +1 | +1 | -1 | 97,3 |
| 2 | +1 | +1 | -1 | -1 | -1 | -1 | +1 | +1 | 127,6 |
| 3 | +1 | -1 | +1 | -1 | -1 | +1 | -1 | +1 | 153,7 |
| 4 | +1 | +1 | +1 | -1 | +1 | -1 | -1 | -1 | 71,9 |
| 5 | +1 | -1 | -1 | +1 | +1 | -1 | -1 | +1 | 113,7 |
| 6 | +1 | +1 | -1 | +1 | -1 | +1 | -1 | -1 | 91,8 |
| 7 | +1 | -1 | +1 | +1 | -1 | -1 | +1 | -1 | 127,1 |
| 8 | +1 | +1 | +1 | +1 | +1 | +1 | +1 | +1 | 112,2 |
Рассчитаем коэффициенты в уравнении регрессии (6) по зависимостям (8) с учетом знаков Хi в столбцах табл. 5:
Таким образом, получены следующие значения коэффициентов уравнения регрессии:
b0 = 111,9; b12 = b4 = -13,14;
b1 = -11,03; b13 = b5 = 1,83;
b2 = 34,5; b23 = b6= 4,13;
b3 = -0,7125; b123 = b7 = 14,89.
Если ввести обозначения b12 = b4; b13 = b5; b23 = b6; b123 = b7 и учесть обозначения, принятые в табл. 5, регрессионное уравнение (6) запишется в виде:
y = b0 + b1X1 + b2X2 + b3X3 + b4X4 + b5X5 + b6X6 + b7X7.(9)
5. Проверка статистической значимости коэффициентов регрессии
Коэффициенты регрессии, рассчитанные по уравнению (7), строго говоря, определены не точно, а с некоторой погрешностью. Мерой этой погрешности является дисперсия оценок коэффициентов. Неизбежное наличие погрешности в определении коэффициентов регрессии обусловлено колебаниями значений функции отклика при дублировании экспериментов в каждом опыте. С учетом этого уравнение (7) можно записать в следующем виде:
Очевидно, что при достаточно малых значениях коэффициентов bi абсолютная погрешность их определения 2×Dbi, обусловленная погрешностью определения значений функции отклика, может оказаться недопустимо большой. В этом случае значение коэффициента следует признать статистически незначимым, а сам коэффициент исключить из регрессионной модели. Статистическая незначимость коэффициента означает отсутствие его влияния на исследуемый процесс.Поскольку дублирование экспериментов равномерное, дисперсию оценок коэффициентов уравнения регрессии можно рассчитать по зависимости:
, (10)