Анализ временных рядов (стр. 8 из 12)

d(d+1)+2(d+1)-1 =

+3d+1 .

Число возможных последовательностей из (d+3) чисел равняется числу перестановок (d+3)!, так что вероятность либо восходящей, либо нисходящей фазы равна

.

В ряде длины N последовательно можно выделить N-2-d групп по d+3 членов. Т.о. математическое ожидание числа фаз длины d

.

Можно показать, что математическое ожидание общего числа фаз длины от 1 до N-3

.

3.Критерий , основанный на знаках разностей

Данный критерий состоит в подсчете числа положительных разностей первого порядка в ряде , иначе говоря, числа точек возрастания ряда. Для ряда из N членов получаем N-1 разностей . Определим счетную переменную как

Если теперь обозначить через с число точек возрастания случайного ряда , то

.

Распределение довольно быстро стремится к нормальному с дисперсией

.

В основном данный критерий рекомендуется для проверки наличия линейного тренда . С другой стороны, критерий, основанный на поворотных точках , плохо подходит для обнаружения тренда, т.к. наложение заметных случайных колебаний на умеренный тренд приводит примерно к тому же множеству поворотных точек, что и при отсутствии тренда. .Более совершенным, но более сложным критерием для обнаружения линейного тренда являются регрессия y на t и проверка значимости регрессионного коэффициента.

4.Критерий, основанный на ранговых сравнениях

Идею сравнения соседних значений ряда можно развить до сравнения всех значений. Для данного ряда подсчитаем число случаев, когда очередной член ряда превышает все последующие. Всего для сравнения имеется

N(N-1) пар. Пусть nобщее число случаев превышения. Подсчитывают ранговый коэффициент корреляции Кендэла

.

Если этот коэффициент значим и положителен, то ряд возрастающий, если отрицателен, то - убывающий.

10.Теоретический анализ стационарной случайной составляющей линейного вида

Рассматривается общая линейная модель стохастического процесса

, (1)

где

– белый шум

– весовые коэффициенты.

Напомним, что

=0, ,

Введем оператор сдвига на один шаг назад В:

Многократное (для определенности j-кратное) применения оператора В, обозначаем как

, дает С учетом введенных обозначений общую линейную модель можно записать как

( )

где

– линейный оператор.

Найдем математическое ожидание, дисперсию и автоковариационную функцию для процесса (1):

;

Для того чтобы модель имела смысл, дисперсия

должна быть конечной, то есть предполагается, что ряд сходится.

Кроме этого предполагают, что имеет место так называемое условие обратимости:

,

где вместо В фигурируют комплексные числа. Из этого условия вытекает существование обратного оператора

,

где

, то есть такого, что

Раскрывая произведение в последнем выражении, группируя однородные по

члены и приравнивая их к нулю, получают выражения для определения коэффициентов . Так, и так далее.

Умножая (

) на слева, получим, что обратимый процесс может быть записан в виде

,

или

(2)

Запись (2) соответствует авторегрессионой схеме бесконечного порядка. Это же соотношение можно трактовать как линейный предиктор для по всем прошлым значениям временного ряда, а слагаемое

– как случайную ошибку этого предиктора. Если известны все прошлые значения ряда, то по форме (2) можно спрогнозировать будущее значение ряда.

10.1\. Модели авторегрессии

Рассмотрим более подробно модели случайной составляющей, являющиеся частными случаями общей линейной модели, а именно модели авторегрессии, скользящего среднего и смешанные, широко применяемые на практике.

10.1.1 Авторегрессия первого порядка (марковский процесс)

Модель АР(1) имеет вид

.

С использованием оператора сдвига В модель примет вид

.

Отсюда

Рассматривая

как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем аВ получаем, что

(2)

Таким образом, марковский процесс есть частный случай общей линейной модели, коэффициенты которой меняются по закону геометрической прогрессии, то есть

.

Выражение (2) можно получить и из (1) непосредственно, выражая

через , через и т.д.

Дисперсия

в соответствие с () есть

Выходит, белый шум с дисперсией

порождает в схеме Маркова случайный процесс с возросшей дисперсией, равной .

Для нахождения автоковариационной функции Марковского процесса можно воспользоваться общим выражением ( ). Однако более нагляден следующий путь. Домножим уравнение (1) марковского процесса на

и возьмем математическое ожидание

.

Поскольку второе слагаемое в правой части равно нулю в силу некоррелированности возмущения

в текущий момент с прошлыми значениями ряда , получаем