Задача № 5

Используя данные комбинационной таблицы и опираясь на выводы, полученные на основе графического анализа характера связи между двумя показателями, следует выделить определенные особенности и свойства изучаемой совокупности. Для этого необходимо провести ряд статистических расчетов.

1. Определить корреляционную зависимость между факторным и результативным признаками. При этом выбор уравнения связи должен производиться на основе выявления экономической сущности зависимости показателей между собой с использованием графического способа.

2. Определить показатели тесноты связи (коэффициент корреляции - rили корреляционное отношение - η).

3. Нанести уравнение регрессии на график, полученный в задаче № 4. Проследить, как выявленная методом корреляционного анализа теоретическая линия регрессии (прямая или кривая) расположена относительно эмпирической.

Определение коэффициента корреляции.

Коэффициент корреляции (между двумя признаками) характеризует интенсивность связи между ними; он может изменяться в пределах от - 1,0 до +1,0. Знак коэффициента характеризует направление изменения результативного признака при увеличении факторного.

(5)

Таблица 8 - Расчет коэффициента корреляции

Хi	Уi	ХiУi	Хi²	Уi²
1	1635,72	209,14	342090,70	2675590,62	43738,40
2	1439,29	196,06	282182,54	2071543,37	38438,48
3	1408,65	193,67	272817,55	1984286,37	37509,41
4	1253,17	191,45	239915,48	1570440,58	36651,78
5	1203,06	183,16	220353,98	1447356,31	33547,98
6	1163, 19	182,67	212481,80	1353005,99	33369,04
7	1080,65	180,78	195359,88	1167793,96	32681,69
8	1039,45	179,71	186800,36	1080453,71	32296,04
9	970,11	179,64	174270, 20	941111,81	32270,45
10	958,67	178,18	170814,71	919053,09	31747,53
11	944,78	178,09	168252,47	892616,08	31714,52
12	883, 19	176,95	156278,99	780017,23	31311,00
13	869,62	175,98	153036,70	756232,49	30969,62
14	866,90	175,73	152340,80	751520,81	30881,01
15	828,83	175,10	145127,82	686957,23	30659,96
16	819,40	175,04	143424,73	671411,74	30637,91
17	811,53	174,85	141891,52	658573,51	30570,93
18	792,50	174,47	138263,79	628052,18	30438,36
19	785,89	173,76	136556, 20	617616,00	30192,86
20	766,24	173,69	133088,42	587127,99	30168,08
21	766,24	173,26	132758,92	587123,74	30019,11
22	763,77	165,94	126742,12	583345,47	27536,97
23	762,01	160,80	122527,86	580653,07	25855,50
24	744,16	160,53	119460,11	553768,36	25770, 19
25	741,97	150,48	111651,77	550520,67	22644,23
26	705,47	145,48	102635,02	497692,86	21165,56
27	694,35	136,14	94532,44	482124,44	18535,43
28	549,94	134,75	74102,64	302429,04	18156,99
29	527,98	127,96	67558,48	278766,08	16372,68
30	514, 19	121,97	62714,28	264389,85	14876,07
∑	27290,89	5105,41	4780032,26	26921574,62	880727,78

Проверим значимость коэффициента корреляции, т.е. возможность отвергнуть теорию о некоррелированности рассматриваемых величин.

Для этого определим коэффициент

(6)

Для нашего примера

В справочнике найдем табличное значение критерия значимости. При заданной вероятности Р=0,95 и N=30

. Условие, при котором отвергают гипотезу о некоррелированности исследуемых величин

. Условие выполняется, следовательно гипотезу некоррелированности признаков можно отвергнуть с заданным уровнем надежности.

Построение линейной регрессионной модели.

Наибольшее распространение получил метод наименьших квадратов МНК, при использовании которого ставится требование, чтобы сумма квадратов разностей между эмпирическими и теоретическими значениями была минимальной.

Оценка линейности связи

Для решения поставленной задачи используем дисперсионный анализ. Если теоретическая линейная регрессия действительно выражает форму эмпирической связи, то отклонения эмпирической линии регрессии от теоретической будут случайными.

В случае если в действительности связь не прямолинейна, отклонения не будут случайными, а будут отражать кривизну эмпирической регрессии. Поэтому вопрос о линейной регрессии может быть решен путем сравнения неслучайных и случайных отклонений.

Неслучайные отклонения характеризуются дисперсией отклонения теоретической регрессии от среднего. Случайные отклонения характеризуются дисперсией остатка.

Определение общей дисперсии по результативному признаку

(7.1)(7.2)

где К₁ - число степеней свободы, приходящееся на регрессию; равно числу независимых переменных (для парной регрессии К₁=1)

К₂-число степеней свободы, приходящееся на остаток (К₂=N - К₁-1=28)

Y - теоретическое значение результативного признака, найденное по уравнению парной регрессии.

Таблица 9 - Расчет общей дисперсии

Х	Y			Х	Y
1635,72	222	2800,59	170,16	819,40	167	5,89	2222,63
1439,29	209	1568,33	682,48	811,53	166	8,76	2240,72
1408,65	207	1408,12	812,72	792,50	165	18,06	2276,79
1253,17	196	728,12	944,65	785,89	165	22,07	2344,56
1203,06	193	556,31	1522,60	766,24	163	36,36	2351,48
1163, 19	190	436,09	1561,01	766,24	163	36,36	2393,30
1080,65	185	233,67	1714,03	763,77	163	38,41	3162,82
1039,45	182	156,08	1803,76	762,01	163	39,91	3768,14
970,11	177	60,72	1809,81	744,16	162	56,66	3800,80
958,67	176	49,23	1936,29	741,97	162	58,92	5141,12
944,78	175	36,90	1944,45	705,47	159	103,03	5882,55
883, 19	171	3,60	2045,98	694,35	158	118,90	7402,33
869,62	170	0,96	2134,42	549,94	149	428,32	7644,66
866,90	170	0,63	2157,76	527,98	147	492,14	8878,51
828,83	167	3, 19	2216,69	514, 19	146	534,51	10042,88
10040,86	93010,09

Таким образом:

S₁=10040,86/1=10040,86

S₂=93010,09/28=3321,79

Для установления соответствия эмпирической регрессии линейной форме связи определяют дисперсионное отношение F=S₁/S₂и сравнивают со значением из справочника при заданной надежности.

F=10040,86/3321,79=3,03, табличное значение F=4,2.

Фактическое значение меньше табличного, значит прямолинейная форма связи не соответствует эмпирическим данным.

Рисунок 2 - Графическая интерпретация теоретической и эмпирической регрессии

Корреляционный анализ статистических данных показал относительно высокую степень связи между факторным и результативным признаками.

Регрессионный анализ позволилподобрать регрессионную линейную модель методом наименьших квадратов. Насколько эта модель адекватна экспериментальным данным доказала проверка с помощью дисперсионного анализа. В частности, была проверена гипотеза о том, что регрессионная модель точнее описывает результаты эксперимента, чем среднее по всем опытам. С достоверностью 95 % эта гипотеза подтвердилась.

Задача № 6

Для изучения показателей производительности труда на предприятии, число рабочих на котором составляет 5000 человек, было проведено методом случайного бесповторного отбора обследование квалификации рабочих в процентном отношении (таблица 10).

Таблица 10

Число рабочих	Квалификация рабочих (тарифные разряды)						Заданная вероятность Р
Число рабочих	1	2	3	4	5	6	Заданная вероятность Р
180	5	9	47	50	42	27	0,996

С заданной вероятностью следует определить:

а) процентное соотношение выборки для проведения обследования;

б) величину средней ошибки выборки;

в) предельную ошибку выборочной сpeднeй;

г) пределы, в которых находится средний тарифный разряд рабочих предприятия.

Средняя ошибка выборки для средней показывает расхождение выборочной и генеральной средней. При случайном бесповторном отборе она рассчитывается по следующей формуле

, (8)

где µ-средняя ошибка выборочной вредней;

Процесс обработки статистикой информации (стр. 2 из 4)

Задача № 5

Задача № 6