Основні положення статистичного моделювання систем зв'язку (стр. 4 из 5)

3.2 Математичні моделі низькочастотних детермінованих сигналів

Для опису періодичних сигналів широко використовується ряд Фур'є

, (18)

,(19)

де

– період повторення сигналу, .

Спектральне зображення неперіодичних абсолютно інтегрованих сигналів визначається перетворенням Фур'є

,

.(20)

На практиці часто для зображення сигналів використовують узагальнений ряд Фур'є

, (21)

де

- ортонормована система базисних функцій; - коефіцієнти розкладу.

Поряд з базисом тригонометричних функцій використовуються також базисні функції Лежандра, Лагерра, Ерміта, Чебишова, Уолта, Хаара та інші.

Таким чином, моделювання детермінованих сигналів та їхніх перетворень у різних ланках системи зводиться до обчислення на ЕОМ детермінованих функцій, заданих у дискретні моменти часу. Як правило, це не викликає складності ні принципового, ні обчислювального характеру при проведенні моделювання систем на сучасних ЕОМ.

3.3 Математичні моделі випадкових сигналів

Однак, крім детермінованих сигналів і перетворень, при моделюванні систем зв’язку виникає необхідність реалізувати на ЕОМ різного роду випадкові елементи - випадкові величини, випадкові сигнали і поля. Зокрема, у каналах зв'язку діють випадкові завади різного типу: флуктуаційні та імпульсні; адитивні та мультиплікативні, вузькосмугові та широкосмугові; активні та пасивні. Вони відрізняються структурою та механізмом виникнення, а також своїми імовірнісними характеристиками. Окрім того повідомлення, як правило, також носять стохастичний характер. Тому сигнали, що передаються та приймаються в системах зв’язку в загальному випадку треба розглядати як випадкові сигнали. Для побудови їх математичних моделей необхідно використовувати ймовірнісні моделі, тобто випадкові процеси з різними імовірнісними характеристиками. Випадкові процеси описуються математичним апаратом, який суттєво відрізняється від апарату детермінованих сигналів. Сучасний математичний аппарат, який використовується для опису випадкових елементів, базується на теорії множин, теорії міри, теорії функцій дійсної змінної та функціональному аналізі.

Cигнал як фізичний процес, що використовується для передавання інформації в системах зв'язку, може описуватися випадковою функцією. Випадкова функція - це суттєво інший випадковий математичний об'єкт порівняно з детермінованою функцією. Її можна визначити як параметричну множину випадкових величин, що задовольняє певні умови

, (22)

де

- параметр з множини ; - елементарна подія з множини елементарних подій .

Параметр

може мати різне тлумачення. Якщо - має сенс часу , то випадкова функція - це випадковий процес

. (23)

Коли

- зліченна множина , тоді функцію (23) називають випадковим процесом з дискретним часом або часовою послідовністю. У кожному випадку маємо множину випадкових величин, заданих на ймовірнісному просторі , де - -алгебра; - імовірнісна міра.

На основі (23) може розглядатися декілька визначень випадкового процесу. Так множину (23) можна розглядати по різному: як упорядковану відносно параметра

сукупність випадкових величин; як сукупність числових функцій часу, кожна з яких розглядається як елементарна подія; як функцію, що залежить від двох змінних .

Існує протиріччя між необхідністю повного опису випадкового процесу та достатньою простотою, яка визначається необхідністю розв’язання прикладних задач. Тому при розв’язанні багатьох прикладних задачах зв’язку ідуть на спрощений опис випадкового процесу, зокрема, в рамках кореляційної теорії, коли використовуються тільки дві моментні функції випадкового процесу – кореляційна функція та математичне сподівання. Кореляційна теорія випадкових процесів містить у собі декілька зображень процесів в інтегральному вигляді та у вигляді рядів. Це, насамперед, відповідні поширення на випадкові процеси інтегрального перетворення Фур’є, рядів Фур’є і Котельникова та зображення аналітичних та вузькосмугових сигналів, що широко використовуться для зображення детермінованих сигналів.

Кореляційна теорія набула широкого поширення, проте у галузі зв’язку існують задачі, які не можуть бути розв’язані в її рамках. Такими є задачі оптимального приймання сигналів, задачі теорії інформації, декодування сигналів. Для їх розв’язання необхідно застосовувати повніший опис випадкового процесу з використанням функцій розподілу. Розглянемо деякі класи випадкових процесів, що можуть бути використовані в ролі математичних моделей реальних фізичних процесів у системах зв’язку.

Вузькосмугові випадкові процеси. За аналогією з описом вузькосмугових детермінованих сигналів може бути використана математична модель у виді вузькосмуговоговипадкового процесу

(24)

де

- це комплексна обвідна випадкового процесу. При цьому аналогічно до детермінованих сигналів розглядаються квадратурні складові , які також є випадковими процесами. Через квадратурні складові вводяться поняття амплітуди та фази випадкового процесу

.

Математична модель у вигляді вузькосмугового випадкового процесу може бути використана, наприклад, для описування флуктуаційної модульованих випадковим повідомленням сигналів, а також завади у вузькій смузі частот існування сигналів, що передаються.

Білі шуми. Одним із найбільш відомих і поширених класів випадкових процесів є білий шум. Білий шум – це випадковий процес з незалежними або некорельованими значеннями. Для дискретного часу білий шум - це послідовність незалежних або некорельованих випадкових величин. В залежності від імовірностних властивостей розглядають стаціонарний і нестаціонарний, гаусовий і негаусовий білий шум. Згідно з означенням білого шуму, він повністю визначається через одновимірні функції чи щільності розподілу. Зокрема, багатовимірна щільність ймовірності визначається як добуток одновимірних щільностей ймовірності.

Наприклад, для стаціонарного білого шуму з дискретним часом багатовимірна щільність ймовірності визначається у вигляді

. (24)

Білий шум є

- корельованим (у розумінні -функції Кронекера) випадковим процесом, кореляційна функція якого має вигляд

(25)

На підставі теореми Вінера-Хінчина спектральна густина білого шуму з дискретним часом рівномірна у смузі частот

і має значення .

Для описування реальних фізичних процесів в системах зв'язку використовують також "негаусові" білі шуми - випадкові процеси, які мають такі ж властивості кореляційної функції та спектральної щільності, а щільність розподілу ймовірностей відрізняється від гаусової.

Математична модель у виді білого шуму може бути використана для описування завад у системах зв'язку.

Марківські процеси. Модель у виді білих шумів не враховує зв’язків суміжних значень, які розглядаються як статистично незалежні або некорельовані. Модель у виді марківських процесів враховує такі зв’язки, які поширюються тільки на один крок (або на фіксоване число кроків). Це відповідно прості та багатозв’язні марківські процеси.