Формирование и проверка гипотез (стр. 1 из 2)

Формирование и проверка гипотез

В логике методы рассуждений делятся на два класса: дедуктивные выводы и правдоподобные рассуждения (или недедуктивные выводы). Для выполнения дедуктивных выводов необходимы некоторые правила логического вывода; эти правила определены математической формальной системой, с помощью которой моделируются рассуждения и во многом соответствуют правилам логического вывода, которые используются в строгих математических доказательствах. Из предыдущих разделов мы уже знаем, что для систем логического анализа на основе E-структур предусмотрены два правила вывода – транзитивности и контрапозиции, с помощью которых формируется CT-замыкание структуры. Кроме того, для контроля корректности структуры используются методы проверки наличия или отсутствия коллизий. Эти методы не являются правилами вывода, но способствуют их успешной реализации.

Однако естественные рассуждения не ограничиваются только дедуктивными выводами. Дедукция, как правило, работает на заключительном этапе мыслительных процессов, когда построены некоторые исходные утверждения, которые имеют статус аксиом. Тогда получение следствий (теорем) из аксиом и проверка того, что некоторое утверждение является следствием из этих аксиом, относятся к дедукции В то же время сами аксиомы нередко формируются с помощью некоторых обобщений и творческой интуиции. Эта мыслительная деятельность относится уже к правдоподобным рассуждениям.

Понятно, что с помощью логики, по-видимому, невозможно отобразить все многообразие творческого поиска. Но некоторые его разновидности все же можно воспроизвести, используя строгие математические системы. Некоторые методы правдоподобных рассуждений могут быть реализованы с использованием математики и вполне возможна реализация их на компьютере. К ним относятся индукция (в узком смысле поиск закономерностей на примерах), абдукция (поиск объяснений для некоторых неожиданных и не выводимых из аксиом фактов или примеров) и формирование гипотез (поиск новых утверждений, не являющихся следствиями принятых аксиом).

Примером индукции в рассуждениях является вывод немецким астрономом Иоганном Кеплером (1571–1630) математических законов движения планет вокруг Солнца на основе данных астрономических наблюдений. Но индуктивные выводы не всегда бывают, безусловно, верными. Если мы, допустим, путешествуя по Европе и Азии, встречаем только белых лебедей, то мы можем сделать индуктивный вывод "Все лебеди белые". Но, если мы попадем в Австралию, то нам придется изменить свою точку зрения, так как там встречаются черные лебеди. В настоящее время многие методы поиска закономерностей на примерах развились в целую отрасль компьютерных технологий, которая получила название Data Mining.

Абдукцию мы рассмотрим позже. А в этом разделе познакомимся с гипотезами. По сути гипотеза – это новое знание, которое не является следствием принятых аксиом (или посылок). В то же время, чтобы гипотеза была корректной, она не должна противоречить нашим аксиомам – для E-структур это означает, что при добавлении сформулированной гипотезы в конкретную структуру не происходит логических конфликтов в виде коллизий.

Рассмотрим сначала самые простые случаи такого бесконфликтного обновления знаний. Пусть исходное знание представлено корректной E-структурой R, и в этой E‑структуре имеется множество T базовых терминов. Тогда простейшим случаем бесконфликтного обновления знаний будет случай, когда новое суждение (допустим, это суждение A®B) содержит термины (A и B), которые не входят в состав базовых терминов E‑структуры R. Ясно, что при добавлении этого суждения в R какие-либо коллизии невозможны. Например, если мы к посылкам из примера 6 (раздел 3) добавим суждение "Все лебеди белые", то увидим, что по содержанию оно никак не связано с терминами из этого примера. Суждения такого типа можно считать нейтральными относительно исследуемого знания. И такой случай в силу своей тривиальности никакого интереса не представляет.

Более интересен случай, когда в новом суждении наряду с новыми терминами содержатся базовые термины E-структуры R. Самый простой вариант, когда в систему добавляется новое суждение, но при этом в системе содержится только один из терминов нового суждения. Тогда независимо от того, является ли новым термином предикат или субъект данного суждения, наша система «воспримет» новое суждение без всяких коллизий. За счет постепенного наращивания таких рассмотренных выше случаев происходит неограниченное расширение любой исходной системы.

В качестве примера рассмотрим полисиллогизм Л. Кэрролла.

1) Всякие малые дети неразумны;

2) Все, кто укрощает крокодилов, заслуживают уважения;

3) Все неразумные люди не заслуживают уважения.

Добавим в этот полисиллогизм еще одно суждение: "Все обманщики не заслуживают уважения". В этом суждении предикат представлен термином, уже содержащимся в системе, а субъект – новым термином («обманщики»). В результате такого пополнения наша система также останется корректной системой, а число базовых терминов системы увеличится на два («обманщики» и их отрицание – «не обманщики»). При этом в новой системе появляются некоторые интересные особенности, которые будут рассмотрены несколько позже.

Бесконфликтность системы, обновленной за счет такой гипотезы, можно проверить, построив соответствующее CT‑замыкание. Более сложным является случай, когда в новом суждении предусматривается новая связь между двумя и более терминами исходной системы. Частично этот случай был рассмотрен в предыдущем разделе, когда с помощью верхних конусов в корректной E‑структуре строились некоторые экзистенциальные суждения, в которых появлялись уже новые термины. Тем самым мы бесконфликтно дополняли исходную E-структуру новыми суждениями, не используя при этом основные правила вывода (контрапозиции и транзитивности). Но этот метод позволяет сформировать только гипотезы, которые являются безусловными экзистенциальными суждениями.

Рассмотрим пример условного экзистенциального суждения. Пусть задана простая E‑структура с двумя суждениями: A®B и B®C. Построим ее CT‑замыкание и выделим все максимальные верхние конусы:

AD = {A, B, C};

D = { , , }.

CT-замыкание этой E-структуры представлено в виде графа на рис. 1.

дедуктивный логический вывод рассуждение

Рис. 1 Рис. 2

Испытаем для этой E-структуры экзистенциальное суждение W®(

, B). Совокупность литералов { , B} не включена ни в один из максимальных верхних конусов и поэтому данное суждение не является безусловным. А будет структура корректной, если мы присоединим это суждение к исходной системе (рис. 2)?

Проверка по теореме показывает, что корректность структуры не нарушится. Но в чем заключается "условность" данного экзистенциального суждения? Точнее, при каких условиях или корректных изменениях в структуре добавление этого суждения в структуру приведет к коллизии? Дело в том, что в структуре содержится соотношение A®B (т.е. в терминах алгебры множеств AÍB – нестрогое включение), и при этом допускается возможность равенства A и B. В то же время экзистенциальное суждение W®(

, B) означает, что в множестве B содержится хотя бы один элемент из дополнения множества A и, следовательно, равенство A и B невозможно. Другими словами, рассматриваемое экзистенциальное суждение вводит в структуру ограничение, которое не имело бы места, если бы к структуре добавлялось безусловное экзистенциальное суждение.

Данный пример иллюстрирует тот факт, что добавление новых суждений, содержащих два и более терминов исходной системы, не всегда является простым делом и порой требует тщательной проверки. Такую проверку можно существенно облегчить, если использовать компьютерную программу анализа рассуждений.

Рассмотрим ситуацию, когда в новом суждении (или в совокупности новых суждений) содержатся только базовые термины. Такие суждения не являются экзистенциальными, будем называть их базовыми суждениями. Начнем с простого примера. Пусть существующее знание представлено E‑структурой, показанной на рисунке 1. Состав базовых терминов этой E-структуры образует множество T = {A, B, C,

, , }. Спрашивается, можно ли в эту E-структуру добавить хотя бы одно суждение, используя только термины из множества T, и при этом нужно проследить, чтобы новое суждение не содержалось в CT‑замыкании этой структуры?

Если не знать некоторых закономерностей E-структур, то для ответа на этот вопрос потребуется тупой перебор всех суждений, не содержащихся в CT-замыкании, и проверка каждого из них на корректность. Возможных вариантов перебора здесь немало, но имеются способы, позволяющие существенно сократить число проверок. Рассмотрим, как это делается. Для решения этой задачи построим таблицу из четырех колонок.

В первой колонке записывается CT-замыкание нашей системы – слева от стрелки литерал, а справа – литералы, которые достижимы из этого литерала. Сразу же в этой колонке видны максимальные элементы нашей структуры – у них скобки справа пустые. Зная максимальные элементы, можно легко получить минимальные элементы E-структуры (они необходимы для построения максимальных верхних конусов). Оказывается, минимальные элементы в E-структурах являются дополнениями максимальных элементов (имеется доказательство этого соотношения, которое здесь не приводится). Так, в нашем примере минимальные элементы A и

, поэтому максимальными элементами будут соответственно и C.