Моделювання оптимального розподілу інвестицій за допомогою динамічного програмування (стр. 6 из 8)

2.3 Етапи рішення задачі динамічного програмування

Після того як виконані основні етапи складання математичної моделі задачі динамічного програмування, математична модель складена, приступають до її розрахунку. Визначаються основні етапи рішення задачі динамічного програмування.

– Визначення безлічі можливих станів

для останнього кроку.

– Проведення умовної оптимізації для кожного

на останньому m-му кроці по формулі (2.12) й визначення умовного оптимального управління , .

– Визначення безлічі можливих станів

для і-го кроку, .

– Проведення умовної оптимізації і-го кроку,

для кожного стану по формулі (2.13) і визначення умовного оптимального управління , , .

– Визначення початкового стану системи

, оптимального виграшу і оптимального управління по формулі (2.13) при . Це є оптимальний виграш для всієї задачі .

– Проведення безумовної оптимізації управління. Для проведення безумовної оптимізації необхідно знайдене на першому кроці оптимальне управління

підставити у формулу (2.11) і визначити наступний стан системи . Для зміненого стану знайти оптимальне управління , підставити у формулу (2.11) і так далі. Для і-гo стану , знайти і і т.д. [1].

3. Оптимальний розподіл інвестицій, як задача динамічного програмування

Інвестор виділяє кошти в розмірі

умовних одиниць, котрі повинні бути розподілені між -підприємствами. Кожне і-те підприємство при інвестуванні в нього коштів приносить прибуток умовних одиниць, . Необхідно вибрати оптимальний розподіл інвестицій між підприємствами, котрий забезпечить максимальний прибуток.

Виграшем

у даній задачі є прибуток, принесена підприємствами.

Побудова математичної моделі.

– Визначення числа кроків. Число кроків

дорівнює числу підприємств, в котрі здійснюється інвестування.

– Визначення станів системи. Стан системи на кожному кроці характеризується кількістю коштів

, наявних перед даним кроком, .

– Вибір крокових управлінь. Управлінням на і-му кроці

, є кількість коштів, котрі інвестуються і-те підприємство.

– Функція виграшу на і-му кроці:

. (3.1)

– це прибуток, котрий приносить і-те підприємство при інвестуванні в нього коштів

.

. (3.2)

Отже, дана задача може бути вирішена методом динамічного програмування.

– Визначення функції переходу в новий стан:

. (3.3)

Таким чином, якщо на і-му кроці система знаходиться у стані

, а вибрано управління , то на (і+1)-му кроці система буде знаходитись у стані . Іншими словами, якщо в наявності маються кошти в розмірі умовних одиниць, й в і-те підприємство інвестуються умовних одиниць, то для подальшого інвестування залишається умовних одиниць.

– Складанні функціонального рівняння для

.

. (3.4)

А також:

. (3.5)

На останньому кроці, тобто перед інвестування коштів в останнє підприємство, умовне оптимальне управління відповідає кількості коштів, що маються в наявності; тобто скільки коштів залишилось, стільки й необхідно вкласти в останнє підприємство. Умовний оптимальний виграш дорівнює прибутку, котрий приноситься останнім підприємством.

– Складання основного функціонального рівняння.

Підставивши у формулу (2.13) вираження (3.1) і (3.3), отримуємо наступне функціональне рівняння:

. (3.6)

Пояснюючи дане рівняння зазначається, що нехай перед і-м кроком в інвестора залишились кошти у розмірі

умовних одиниць. Тоді умовних одиниць він може вкласти в і-те підприємство, при цьому даний вклад принесе дохід , а умовних одиниць, що залишились – в останні підприємства з ( )-го до -го. Умовний оптимальний виграш від такого вкладу . Оптимальним буде те умовне управління , при якому сума і максимальна.

Проведення автоматизації розподілу інвестицій між підприємствами здійснюється із застосуванням ЕОМ, оснащеної спеціальним програмним засобом MS EXCEL. До розгляду береться, що

=5000, =3.

Таблиця 3.1 – Прибуток

підприємств , від інвестування в них коштів

, тис. у.о.	, тис. у.о.	, тис. у.о.	, тис. у.о.
1	1,5	2	1,7
2	2	2,1	2,4
3	2,5	2,3	2,7
4	3	3,5	3,2
5	3,6	4	3,5

Для

, .