Математические модели формирования и использования запасов (стр. 2 из 3)

Подставив (4-12) в любое из уравнений системы (4-11), получим оптимальные значения:

Учитывая (4-13) и (4-14), из (4-5) получим оптимальные значения еще двух составляющих продолжительности цикла возобновления запасов:

Подставив τ₂^*и τ₂^*в формулы (4-5) и (4-4), получим оптимальные значения цикла повторения заказа и партии однопродуктовой поставки:

τ_ц^*=√ 2·K/(S·n)·√(1+ S / d)/ (1-n/l)= S₁/B₁ (4-17)

q^* = √ 2·K·n/S·√(1+ S / d)/ (1-n/l)= S₂/B₁ (4-18)

Аналогично, подставив значения τ₂^* и τ₃^*из (4-13) и (4-14) в (4-9), определим оптимальные удельные издержки системы:

L_уд^*=√ 2·K·n·S√ (1-n/l)/(1+ S / d)= √ 2·K·n·S· B₁ (4-19)

И, наконец, находим оптимальные значения максимального уровня наличного запаса и задолженного спроса:

Y^*= √ 2·K·n/S·√ (1-n/l)/(1+ S / d)= √ 2·K·n/(S · B₁) (4-20)

y^*= S / d·√ 2·K·n/S·√ (1-n/l)/(1+ S / d)= S / d·√ 2·K·n/(S · B₁ ) (4-21)

Общие оптимальные издержки системы за время возобновления запаса составят:

L_общ ^*= L_уд^* ·τ_ц^* (4-22)

Модель с учетом неудовлетворенных требований при конечной интенсивности поступлений можно широко применять при:

1. управлении поставками материальных ресурсов;

2. определении оптимальной величины запуска деталей в производство с учетом переналадок на одном и том же технологическом оборудовании.

Во втором случае K – это издержки, связанные с переналадками. Предполагается, что они не зависят от величины выпускаемой партии и порядка запуска деталей в производство, l – интенсивность выпуска (производительность), τ₁+ τ₄ – время, затраченное на производство определенного типа изделий.

Из уравнений (4-13) – (4-22) можно получить ряд других частных моделей:

a) при большой интенсивности пополнения, когда вся заказанная партия поступает одновременно; это значит, что l>>n и тогда можно принять n/l®0.

b) при больших штрафах за допущение дефицита S/d®0, т.е. дефицит недопустим (d>>S).

c) когда пункты а) и b) действуют одновременно. т.е. n/l®0, S/d®0, тогда имеем:

q^* = √ 2·K·n/S

τ_ц^*=√ 2·K/(S·n)

L_уд^*=√ 2·K·n·S

Последняя модель в отечественной и зарубежной литературе получила название Уилсона.Применяя формулы (4-17) – (4-19), можно показать, что за счет разумного компромисса между затратами на содержание и потерями от дефицита можно уменьшить общие затраты в единицу времени в √1+S/d раз. При n/l®0 и высоких штрафах за дефицит рассматриваемая модель превращается в модель Уилсона.

1.2 Оптимальные партии поставки для многопродуктовых моделей

Также как и для однопродуктовых поставок, суммарные издержки от функционирования системы складываются из издержек размещения заказов, содержания запаса и убытков вследствие дефицита.

Суммарные издержки размещения заказа:

∑_iК_i = К₀(1+ γ·N)

где К₀ – издержки, не зависящие от числа одновременно заказанных продуктов и размера партии поставки;

γ – доля издержек, учитывающая размещение заказа по каждому i-тому продукту;

N – число продуктов.

Правая часть формулы (4-23) используется для расчета оптимального поставочного комплекта. Если же рассчитываются оптимальные партии запуска деталей в производство, изготавливаемых на одном и том же оборудовании, тогда используется левая часть формулы (4-23), где К_i --издержки переналадок. Причем, К_i не зависят от последовательности запуска деталей в производство. Период возобновления заказов τ_ц^*одинаков для всех одновременно заказываемых N продуктов.

Для удельных издержек работы системы с учетом интенсивности поступления и потерь от дефицита (т.е. с учетом неудовлетворенных требований) справедлива формула:

L_уд = 1/ τ_ц·∑_i К_i+0,5· τ_ц·∑_i[(1-n_i / l _i)/(1+ S _i / d _i)]

Взяв частную производную и приравняв к нулю ∂L_уд/∂ τ_ц=0, получим:

τ_ц^* = √2·∑_i К_i / [∑_i(S _i·n_i·(1-n_i / l _i)/(1+ S _i / d _i))]

Тогда можно найти оптимальные размеры партии запуска деталей в производство из формулы:

q_i^* = n_i · τ_ц^*

Оптимальная величина удельных издержек, с учетом (4-24), составит:

L_уд^* = √2·∑_i К_i · [∑_i(S _i·n_i·(1-n_i / l _i)/(1+ S _i / d _i))] (4-27)

Минимизация издержек от переналадок достигается из условия:

∑_i=1^N(n_i/ l_i)≤1 (4-28)

В общем случае ограничение по ресурсам можно отразить в формуле:

∑_ia_ij· q_i≤ A_j, j=1,n(4-29)

где a_ij– расход соответствующего ресурса на единицу продукции;

A_j– величина ограничения по виду ресурса (норматив).

Если условие (4-29) не выполняется, то рассчитывается новое значение оптимального периода выпуска деталей или партии поставки из условия:

τ^*= min{ƒ/(∑_i ƒ _i ·n_i), A/(∑_i α _i ·n_i)} (4-30),

где, например, первое ограничение относится к складским площадям, а второе – к оборотным средствам. И, далее, все параметры системы пересчитываются заново.

1.3 Определение оптимальных параметров системы управления движением запасов

Применим рассмотренную в 4.1 модель управления запасами к конкретному примеру, который заключается в следующем: на одном и том же оборудовании производится три типа полуфабрикатов.

Объект моделирования – склад готовой продукции, система управления движением запасов с учетом ограничений на складские помещения и оборотные средства.

Проблемная ситуация – определение оптимальных значений партии поставки полуфабрикатов, их максимального уровня запаса, времени производства, бездефицитной и дефицитной работы системы управления запасами для каждого вида полуфабрикатов при заданных условиях.

Наблюдаемые параметры:

· стоимость переналадок оборудования Ki [ден. ед.], которая не зависит от очередности выпуска полуфабрикатов, отправляемых затем в неподалеку расположенные склады общей площадью F = 300 м²;

· стоимость содержания единицы запаса полуфабрикатов Si
[ден. ед./ (ед. п/фабр.: ед. врем.)];

· скорость поступления l_i [ ед. п/фабр.: (ед. врем.) ];

· скорость расходования V_i [ ед. п/фабр.: (ед. врем.) ];

· нормативы по складским помещениям f_i [ м/(ед. п/фабр.) ];

· нормативы по оборотным средствам a_i[ ден. ед./ед. п/фабр.];

· потери от дефицита d_i [ ден.ед./(ед. п/фабр.:ед. врем.) ];величина оборотных средств не должна превышать значения;

· А₀ = 20000 [ ден. ед.].

Ненаблюдаемые параметры:

1) партии поставки полуфабрикатов q_i^* ;

2) максимальный уровень запасов полуфабрикатов Y_i^* ;

3) времени производства полуфабрикатов τ_прi^*;

4) времени формирования запасов τ_i1^*;

5) времени ликвидации дефицита τ_i4^*;

6) времени расходования запаса τ_i2^*;

7) времени бездефицитной работы H_i^* ;

8) времени работы при наличие дефицита N_i^* для каждого вида полуфабрикатов.

Адекватность – соответствие расчетных и фактических параметров системы управления движением запасов.

Математический аппарат – дифференциальное исчисление, частные производные, алгебраические уравнения.

Результат моделирования – организация системы оптимального управления запасами; оптимальные значения партии поставки полуфабрикатов q_i^* , максимальный уровень запасов полуфабрикатов Y_i^* ; времени производства полуфабрикатов τ_прi^*; времени формирования запасов τ_i1^*; времени ликвидации дефицита τ_i4^*; времени расходования запаса τ_i2^*; времени бездефицитной работы H_i^* ; времени работы при наличие дефицита N_i^* для каждого вида полуфабрикатов (табл. 1.1.).

Таблица 1.1

Исходные данные по полуфабрикатам

I	Vi	li	Ki	Si	di	fi	ai
1	49	245	52	6	18	1,5	50
2	178	685	78	8	32	1,4	50
3	266	1520	43	10	20	2	100

Для решения данной задачи следует использовать модель с учетом неудовлетворенных требований многопродуктового производства.

В связи с этим предварительно рассчитываются вспомогательные данные:

V_i/l_i, А_i=1- V_i/l_i , M_i= S _i / d _i , B_i=1- S _i / d _i , R _i= S _i· V_i · А_i / B_i

Тогда оптимальное время возобновления поставок:

τ_ц^*=√2·∑_i К_i / [∑_i(S _i· V_i · А_i / B_i)]

Подставив числовые значения исходных данных, получим значения вспомогательных данных (табл. 1.2.).

Таблица 1.2

Значения вспомогательных данных

i	Аi	Mi	Bi	R i
1	0,8	0,33	0,67	351,05
2	0,74	0,25	0,75	1405,01
3	0,825	0,5	0,5	4389

Требуемые оптимальные параметры управления запасами вычислим по следующим формулам: