Математические модели потребительского поведения и спроса (стр. 6 из 7)
,называются аномальными или товарами Гиффина.
При фиксированном доходе и в практических целях для нормальных товаров используются, как правило, функции спроса двух видов:
1) линейная функция спроса
,где a0 > 0, a1 > 0, статистически оцениваемые параметры модели.
2) степенная функция спроса:
.Во многих прикладных исследованиях значительную роль играет коэффициент эластичности.
Мера реагирования эндогенной переменной на изменение экзогенной переменной называется эластичностью. Однако это определение слишком общее. Конкретнее, эластичность можно определить как предел соотношения между относительным приращением функцииy:
(зависимой переменной) и относительным приращение независимой переменной x:
,
когда 
и обозначается Ex(y).
Таким образом эластичность можно выразить формулой:
при 
или в непрерывном случае:
Из практических соображений эластичность относят к проценту прироста независимой переменной. В этом случае эластичность показывает, насколько процентов повышается или понижается эндогенная переменная Y, если независимая переменная X изменяется на 1%.
Различают дуговую эластичность, то есть среднюю на каком-то отрезке кривой, и точечную эластичность – значение производной в заданной точке. Для практического вычисления эластичности используется формула английского математика и экономиста Рой Аллена (1906 – 1983). Он предложил использовать среднюю точку интервала, по которому происходит изменение в качестве знаменателя дроби. Тогда вычисляются:
· относительное изменение эндогенной переменной
;
· относительное изменение экзогенной переменной
.
Затем вычисляется отношение первого ко второму. Необходимо помнить, что формула Аллена, хотя и популярная, но не единственно возможная. Однако ее не следует применять к очень широким интервалам, так как в этом случае она может ввести в заблуждение.
Для определения эластичности спроса от цены можно воспользоваться формулой:
при 
или
,
Коэффициент эластичности спроса по цене показывает, на сколько процентов уменьшится (увеличится) спрос, если цена товара увеличится (уменьшится) на 1%.
Для линейной функции спроса принимается, что:
,где
- среднее значение цены, 
- среднее значение спроса по использованной выборке.Очевидно, что для cтепенной функции спроса:
.Если коэффициент эластичности близок к нулю, то спрос на товар практически не зависит от его цены. В этом случае говорят, что спрос неэластичен по цене. Это относится в основном к предметам первой необходимости. Спрос называется нормально эластичным, если Edp» 1, что имеет место для товаров длительного пользования. Для предметов роскоши обычно Edp > 1, т.е. спрос является суперэластичным.
При постоянных ценах товары различаются по характеру изменения спроса в зависимости от величины дохода I. Товар j называется ценным (или товаром высшего ряда), если
,т.е. спрос на него возрастает по мере перехода от менее доходных групп потребителей к более доходным. Для малоценного товара имеет место противоположное неравенство:
,что означает вытеснение этого товара из потребительского набора группы потребителей по мере увеличения ее категории доходности.
На основе введенной выше классификации товаров по трем группам можно представить изменение спроса в зависимости от повышения дохода при помощи графика, представленного на рис. 5.16.
Рис. 5.16. Изменение спроса в зависимости от дохода
Здесь по горизонтальной оси (I) отложены относительные величины дохода, а по вертикали доли расходов по указанным трем группам товаров.
Нетрудно видеть, что доля спроса на товары первой необходимости падает с 70% (при малых доходах) до 35% (при доходе в 10 раз большем); сравнительно стабильна (в пределах от 20% до 27%) доля расходов на товары второй группы и значительно возрастает доля расходов на предметы роскоши (от 10% до 43%). Для изучения изменения спроса в зависимости от дохода различных потребительских групп применяются в основном модели двух типов:
1) Модели степенного вида (функции Энгеля):
.Здесь показатель g имеет смысл коэффициента эластичности: т.к. он показывает на сколько процентов увеличится спрос на товар, если доход увеличится на 1%. Коэффициент эластичности спроса от дохода находится как:
при 
Для предметов первой необходимости показатель g < 1 , т.е. при увеличении дохода дополнительные затраты на эти товары этой категории, составляют все убывающую долю. Для предметов длительного пользования показатель эластичности g приблизительно равен 1, что означает примерное постоянство доли расходов на эти предметы в дополнительном доходе. Для предметов роскоши показатель эластичности g > 1. Это означает, что при значительном увеличении дохода все большая часть его прироста тратится именно на товары этой группы.
2) Идея разделения потребляемых товаров и услуг на ряд различных групп развита далее при конструировании так называемых функций Торнквиста. Для товаров первой необходимости эта функция ищется в виде:
,где a1, b1 – параметры модели.
Заметим, что при очень большом доходе, условно представляемом как (I®¥) величина спроса
, что выражает факт асимптотического насыщения потребителя предметами первой необходимости.Функция спроса Торнквиста для товаров длительного пользования отражает тот факт, что спрос на эти товары возникает лишь с некоторого (достаточно высокого) уровня дохода I2. Соответствующее выражение имеет вид:
, если I³I2,где a2, b2 – параметры модели,
, если I < I2.Как видно, спрос на товары этой группы также имеет асимптотическую тенденцию к насыщению, поскольку
Для предметов роскоши используется формула, в которой отсутствует тенденция к насыщению, а спрос начинается с еще более высокого уровня дохода I3:
, если I ³ I3; 
, еслиI < I3.Легко видеть, что при достаточно больших значениях дохода I:
.Это означает, что в этой ситуации практически весь прирост дохода тратится на предметы роскоши. Графическое изображение функций Энгеля и Торнквиста представлено на рис 5.17. и 5.18.
Pис. 5.17. Кривые Энгеля: рост спроса на различные группы товаров в зависимости от дохода
Рис. 5.18. Кривые Торнквиста
Графики функций Торнквиста для трех групп товаров.
6 Изменение цен и компенсация
Проблема компенсации путем увеличения дохода потребителя возникает во всех тех случаях, когда происходит повышение цен на один или несколько потребляемых товаров. При этом возможны различные подходы к решению этой проблемы. Наиболее прямой из них использует понятие функции спроса в достаточно общей форме и опирается на понятие компенсации как на такое увеличение дохода, которое позволяет оставить спрос на товар на том уровне, который определялся прежней ценой. Таким образом, применяется функция спроса