Математические модели потребительского поведения и спроса (стр. 3 из 7)

Рассмотрим два примера отношений предпочтения и соответствующих множеств безразличия.

1) Пусть n= 2 и количества продуктов в наборе x=(x₁, x₂) выражены в весовых единицах (кг), а потребитель строит свою сравнительную оценку следующим образом: «набор x предпочтительнее набора y или равноценен ему, если его суммарный вес больше или равен весу второго набора», т.е. «x =

y»; если x₁+x₂ = y₁+y₂.

Нетрудно видеть, что это отношение удовлетворяет первой аксиоме, и каждый класс безразличия будет состоять из наборов одинакового веса.

2) лексикографическое предпочтение: количества продуктов в наборе x=(x₁, x₂) выражены в любых единицах, потребитель считает первый продукт чрезвычайно ценным и сравнивает наборы по правилу «набор x предпочтительнее набора y, если количество первого продукта в этом наборе больше его количества в наборе y, а если количества первого продукта в обеих наборах равны, то предпочтение определяется по количеству второго продукта».Этот способ сравнительной оценки определяется формулой:

«x

y», еслиx₁ >y₁

или, если x₁ = y₁ и x₂ >y_2.

Это отношение также удовлетворяет первой аксиоме, и каждый набор образует свой собственный класс безразличия.

Для множества безразличия, состоящего из наборов, которые равноценны некоторому набору x, используется обозначение:

C_x = { y Î X ½ y ~ x }.

Обозначим множество всех слабо предпочтительных по отношению к x наборов через

, а множество всех слабо не предпочитаемых наборов через

.

Вторая аксиома теории потребления состоит в том, что для любого набора x оба множества

и

являются замкнутыми подмножествами векторного пространства R_n. Это означает, что оба множества содержат все свои предельные точки и множество безразличия:

,

т.е. определяется как пересечение этих множеств. Отношение предпочтения, обладающее таким свойством, называется непрерывным.

Из выполнения этих двух основных аксиом вытекает, что существует непрерывная скалярная функция u(x), определенная на связном множестве X потребительских наборов и являющаяся индикатором предпочтения, поскольку она обладает следующим характеристическим свойством:

«x =

y» тогда и только тогда, когда u(x)

u(y).

Таким образом, если потребитель слабо предпочитает набор x набору y, то значение функции u в точке x будет иметь не меньшее значение, чем в точке y, и наоборот, если значение индикатора для некоторого набора x не меньше, чем для набора y, то потребитель слабо предпочитает набор x набору y.

Индикатор предпочтения функции – функция u(x) – обычно называется функцией полезности потребительских наборов. Нетрудно видеть, что любое монотонное преобразование функции полезности, например функции

, или

(где a>0), опять являются функциями полезности, поскольку они обладают указанным характеристическим свойством. Таким образом, функция полезности не является измерителем какой-то конкретной «полезности», но лишь дает представление о ранжировании (порядке) различных наборов, почему она и называется часто функцией порядковой или ординальной полезности.

Заметим, что каждому множеству С_x безразличия соответствует свое постоянное значение функции полезности : u(x) = const.

Рассмотрим с точки зрения построения функций полезности приведенные выше примеры:

1) «весовое» предпочтение удовлетворяет обеим аксиомам теории потребления, а в качестве функции полезности можно использовать сам вес набора, т.е.

u(x) = u(x₁,x₂) = x₁+x₂;

2) лексиграфическое упорядочение не является непрерывным, поскольку предпочтительное множество (

) и непредпочтительное множество (

) не пересекаются между собой. В связи с этим функция полезности (индикатор предпочтения) здесь не существует.

Порядковый подход к анализу полезности является наиболее распространенным. От потребителя не требуется, чтобы он умел соизмерять блага в каких-то искусственных единицах измерения. Достаточно, чтобы потребитель был способен упорядочить все возможные товарные наборы по их «предпочтительности». В порядковой теории полезности понятие «полезность» означает не что иное, как порядок предпочтения. Утверждение: «Набор А предпочтительнее для данного потребителя, чем набор В», – тоже самое, что и утверждение: «Набор А полезнее для данного потребителя, чем набор В». Вопрос на сколько единиц полезнее набор А, чем набор В не ставится. Потребитель выбирает предпочтительный набор товаров из всех доступных для него.

4 Кривые безразличия. Решение задачи об оптимальномвыборе потребителя

Основой изучения личного потребления (индивидуальных потребителей и домашних хозяйств) служат кривые безразличия. Кривая безразличия – линия, каждая точка которой представляет собой такую комбинацию двух товаров, что потребителю безразлично, которую из них выбрать. Кривые безразличия графически отражают систему предпочтений потребителя.

Для удобства воспроизведения используется двумерное пространство, т.к. выводы, полученные для двумерного случая (для двух товаров), справедливы для сколь угодно большого количества товаров.

Рассмотрим простой пример. Допустим, домашнее хозяйство может потреблять два вида благ (благо 1 и благо 2). Пусть в течение некоторого периода первое благо потребляется в количестве y₁, а второе – в количестве Y₂. Двумерный вектор (y₁, y₂) назовем планом потребления. Домашнее хозяйство сравнивает вектор потребления (набор потребляемых благ) А= (Y₁^A, Y₂^A) с другим вектором потребления, В = (Y₁^B, Y₂^B) и выносит одно из следующих суждений:

а) вектор А предпочтительнее, чем вектор В;

б) вектор В предпочтительнее, чем вектор А;

в) векторы А и В равно предпочтительны (потребителю безразлично, какой из векторов А или В выбрать).

Кривая безразличия здесь – это все планы потребления, которые находятся в отношениях безразличия с рассматриваемым планом потребления.

Если обозначить через U = U(y₁, y₂) функцию, или, иначе говоря, индекс полезности, которую можно получить от потребления благ, заданных вектором (y₁, y₂), то кривая безразличия это набор значений
(y₁, y₂), которые приводят к одному и тому же значению U.

Существуют различные виды кривых безразличия, определяемые способом задания функции полезности. Но существуют также и общие свойства кривой безразличия, независимо от её вида:

· через любую точку в графическом пространстве товаров всегда можно провести соответствующую кривую безразличия, т.к. для любой комбинации двух товаров всегда найдётся множество других комбинаций, полезность которых будет такой же, как у этой точки. Данное свойство основано на том, что потребитель может сравнить все товары или их набор с помощью отношений предпочтения или безразличия (аксиома полной упорядоченности);

· кривые безразличия никогда не пересекаются (аксиома транзитивности и аксиома ненасыщения);

· на основании первых двух свойств можно построить карту кривых безразличия, содержащую информацию о системе предпочтений потребителя. Кривая, более отдалённая от начала координат, имеет большую общую полезность: более предпочтительна;

· кривая безразличия имеет отрицательный наклон, так как сокращение количества одного товара должно быть компенсировано или заменено увеличением количества другого товара, чтобы была сохранена общая полезность набора;

· кривая безразличия в широком смысле вогнута по отношению к началу координат: наклон кривой безразличия уменьшается при движении вдоль горизонтальной оси от начала координат. Это объясняется тем, что готовность потребителя замещать один товар другим при этом падает.

Чтобы построить кривую безразличия, необходимо выразить один из аргументов функции полезности через другой аргумент и значение функции полезности U. Так, для функции полезности (1) получаем:

,

а для функции (2) – получаем:

.