Елементи дисперсійного аналізу і теорії кореляції (стр. 1 из 5)

ЕЛЕМЕНТИ ДИСПЕРСІЙНОГО АНАЛІЗУ

І ТЕОРІЇ КОРЕЛЯЦІЇ

Вступ

У більшості розділів математичної статистики передбачається, що кожний із усіх численних компонентів (факторів), які визначають характер поведінки випадкової величини, вносить у формування її значення дуже малий неконтрольований внесок, більш-менш однаковий за потужністю. На відміну від них у дисперсійному аналізі та у теорії кореляції досліджуються випадки наявності серед цих факторів величин, що є домінуючими у тій чи у іншій ступені аж впритул до необхідності їх інтерпретації як також випадкових величин і з'ясування їхнього взаємозв'язку з основною випадковою величиною.

1 Сутність і задачі дисперсійного аналізу. Однофакторний дисперсійний аналіз

Нехай є

груп сукупностей, кожна з яких характеризується випадковою величиною . Це можуть бути підмножини однієї генеральної сукупності чи різні генеральні сукупності. При цьому кожна група сукупностей відповідає визначеному рівню досліджуваного фактора ( , , , ... , ), який якось впливає на випадкову величину . Рівні фактора можуть бути фіксованими (обраними і визначеними заздалегідь) чи випадковими, тобто такими, коли кількісний рівень фактора визначається випадковим чином. Крім того, рівні фактора можуть не мати кількісної міри, а розрізнятися між собою тільки якісно.

Введемо наступні основні обмеження, що накладаються на розглянуту модель:

– випадкові величини

, , , ... , у кожній групі розподілені нормально з математичними сподіваннями , , , , і дисперсіями , , , , ;

– дисперсії у групах є рівними між собою, тобто

;

– вибірки, що організовані з

груп сукупностей, є незалежними.

Будь-яке значення випадкової величини

(кількісної характеристики розглянутих сукупностей) може бути поданим у вигляді наступної лінійної моделі

(1)

де:

– -е значення у групі (при рівні фактора );

– компонента, що обумовлена рівнем фактора (факторна компонента);

– постійний компонент, що залежить тільки від природи випадкової величини і є незалежним від рівня фактора ;

– "похибка" лінійної моделі, що подає собою залишок, який утвориться після вирахування і з усього результату випробування, тобто випадкова компонента, що враховує вплив усіх інших факторів, крім розглянутого чинника .

Модель (1) відображає те, що у формуванні значення

беруть участь дві компоненти: факторна і випадкова. Якщо припустити, що випадкова компонента відсутня і для різних рівнів фактора отримано по одному невипадковому значенню , , , ... , , то як показник впливу фактора можна застосувати нормовану суму квадратів відхилень від їх середнього значення

(2)

де

Цю величину, подібну до (2), можна назвати дисперсією фактора

(факторною дисперсією), хоча вона не є характеристикою випадкової величини.

Порівнюючи цю факторну дисперсію з дисперсією випадкової компоненти, що називають дисперсією відтворюваності

, можна зробити висновок про значущість (чи незначущість) їхньої відмінності.

Якщо факторна дисперсія і дисперсія відтворюваності розрізняються значущо, то слід визнати вплив досліджуваного фактора на результати випробування, а якщо вони розрізняються суттєво, то роблять статистичний висновок про те, що вплив фактора є несуттєвим.

При цьому вивчати вплив фактора

на наслідки випробувань слід не на результатах окремих дослідів, а на середніх значеннях, отриманих при фіксованих рівнях фактора, тому що дисперсії середніх менше дисперсії самої випадкової величини і вплив фактора (якщо він є) проявиться більш наочно.

Таким чином, за нульову гіпотезу, що буде перевірятися за допомогою дисперсійного аналізу, висувається статистична гіпотеза про рівність математичних сподівань по рівнях фактора

: (3)

проти альтернативної гіпотези

: "не менш двох математичних сподівань є різними".

Припустимо, що для кожного з

рівнів фактора ( , , , ... , ) отримано значень випадкової величини , що характеризує досліджувану сукупність (усього значень). Результати випробувань подані в таблиці 1.

Обчислимо середнє

по вимірах окремо для кожного рівня фактора, а також загальну середню за всіма спостереженнями

, (4)

Таблиця 1

Номер випробування	Рівень фактора
			...		...
1			...
2			...
			...
			...		...
			...
			...		...
			...		...

Повну суму квадратів відхилень усіх значень від загальної середньої, при обчисленні якої спільно врахуються факторна та випадкова компоненти, можна розкласти на суму двох складових, що подають ці фактори роздільно