Теория игр и статических решений (стр. 2 из 3)
d) Составьте платежную матрицу этой игры. Найдите равновесия в чистых стратегиях.
e) Нарисуйте линии откликов игроков и найдите смешанные равновесия в этой игре.
f) Допустим теперь, что у игроков теперь 3 стратегии: «не уступить», «уступить» и «уступить пол-лыжни». Если оба уступили друг другу пол-лыжни, то потери каждого 4 секунд, если же один уступил пол-лыжни, а второй - нет, то лыжники столкнутся, и потери при столкновении у уступившего – 29 секунд, у неуступившего - 4 секунды. Найдите все равновесия по Нэшу (в чистых и в смешанных стратегиях).
Решение:
a) Составим платежную матрицу этой игры:
| У | Н | |
| У | -9-9 | 0-9 |
| Н | -90 | -25-25 |
В чистых стратегиях равновесия в данной игре нет.
b) Найдем равновесие в смешанных стратегиях.
Предположим, что первый игрок с вероятностью µ играет стратегию У, соответственно с вероятностью (1 - µ) – стратегию Н. Второй игрок с вероятностью ν играет стратегию У, а с вероятностью (1 - ν) - стратегию Н.
Функции выигрыша игроков:
Соответственно функции откликов:
Имеем 2 точки пересечений линий, соответствующие равновесиям в смешанных стратегиях:
2. (Н; У), то есть первый игрок всегда не уступает, а второй – уступает;
3. (У; Н), то есть первый игрок всегда уступает, а второй – не уступает;
4. Каждый из игроков с вероятность 16/25 уступает лыжню и с вероятностью 9/25 не уступает лыжню.
c) Составим платежную матрицу игры:
| У | Н | УП | |
| У | -9-9 | 0-9 | -4-9 |
| Н | -90 | -25-25 | -29-25 |
| УП | -9-4 | -25-29 | -4-4 |
В чистых стратегиях равновесия нет.
4. Профсоюз заключает с фирмой соглашение на несколько лет об уровне заработной платы w>0. Профсоюз максимизирует функцию совокупной прибыли членов профсоюза (зарплата за вычетом издержек от работы): u(w,L)=wL-4*L2, фирма максимизирует свою прибыль (выпуск за вычетом зарплаты): П(w,l)=7*L0.5-wL.
d) Найти равновесный уровень заработной платы и занятости в статической игре.
e) Каково равновесие в динамической игре, если профсоюз достаточно мощный, чтобы навязать фирме любой уровень заработной платы, после чего фирма не может менять уровень заработной платы в течение срока контракта, но может нанимать любое количество труда L>0.
f) Каково равновесие в динамической игре, если фирма – монополист на рынке труда, и она может установить любую заработную плату, после чего профсоюз может только регулировать численность работающих на монополиста.
Решение:
b) Профсоюз устанавливает уровень заработной платы. В свою очередь исходя из этого значение фирма определяет количество занятых. Предположим, что профсоюз установил уровень заработной платы w*. Тогда прибыль фирмы будет П(w*,l)=7*L0.5- w*L. Максимизируем прибыль по L.
ПL’(w*,l)= 3.5L-0.5 – w* = 0 при L*=
.То есть при установлении профсоюзом уровня з/п в значение w* фирма примет решении о найме рабочей силы в значение L*=
.Максимизируем теперь функцию совокупной прибыли членов профсоюза u(w,L)=wL-4*L2
Подставим в функцию найденное на предыдущем шаге значение L*.
u(w,L*)=wL*4*L*2=
. 
, откуда 
.Решение игры:
.c) В данном случае сначала фирма устанавливает уровень з/п. После чего профсоюз принимает решение о количестве занятых, максимизируя свою прибыль. Предположим, что фирма приняла решение об уровне з/п равным w*.
Тогда прибыль членов профсоюза будет определяться: u(w*,L)=w*L-4*L2. Профсоюз максимизирует свою прибыль, варьируя значение L.
, откуда максимизирующий прибыль сотрудников профсоюза уровень занятости определяется как 
. Подставим это значение в функцию прибыли фирмы:П(w, L*)=7*L*0.5-wL*=
. Пw’(w, L*)= 
=0 при 
.Соответственно
.Решение игры: (
; ).5. В этой игре с нулевой суммой найдите равновесие в осторожных стратегиях. Существует ли в этой игре равновесие по Нэшу в чистых стратегиях?
| c1 | c2 | c3 | c4 | c5 | |
| s1 | 5 | 2 | 3 | 6 | 4 |
| s2 | 4 | 1 | 1 | 5 | 0 |
| s3 | 6 | 0 | 4 | 9 | -3 |
Решение:
Игра антагонистическая, значит можем найти MinMax и MaxMin и сравнить их.
MaxMin = Max (2, 0, -3) = 2 и соответствует s1.
MinMax = Min (6, 2, 4, 9, 4) = 2 и соответствует c2.
Получаем, что MinMax = MaxMin = 2, следовательно в игре существует равновесие по Нэшу в чистых стратегиях и соответсвует (s1, c2).
6. На корабле 50 пиратов делят 100 кусков золота по следующему правилу: первым дележ предлагает капитан. Если хотя бы половина команды (включая капитана) согласна, то на этом игра и заканчивается. Если нет, то капитана выбрасывают за борт и дележ предлагает следующий по старшинству и т.д. Найдите совершенное подыгровое равновесие в этой игре.
Решение:
Будем использовать метод обратной индукции. Упорядочим всех пиратов по старшинству.
1. Предположим, что остался один пират. Тогда он предложит отдать все куски золота ему, с чем согласится и получит все золото.
2. Осталось 2 пирата. Чтобы старшему пирату заполучить все золото, ему нужно набрать один голос. Соответственно он предложит все золото отдать ему, согласится и получит все золото. Исход игры не зависит от того, согласен с этим решением или не согласен второй пират.
3. Осталось 3 пирата. Чтобы получить одобрение плана и остаться в живых самому старшему пирату необходимо получить 2 голоса. Второй пират знает, что он может получить все золото, если останется он и еще один пират. Потому он всегда будет голосовать против. Остался самый младший пират. Он также знает, что если останутся 2 пирата, то он не получит ничего. Если же в текущем дележе ему достанется хотя бы один кусок голоса, то он проголосует за дележ. Потому в условиях, когда осталось 3 пирата старший предлагает самому младшему один кусок золота, а все остальное оставляет себе. При таком дележе он точно получит 2 голоса: свой и самого младшего пирата.
4. Осталось 4 пирата. Для принятия плана дележа вновь необходимо заполучить 1 дополнительный голос, помимо своего. При этом все пираты понимают, что если останется 3 пирата, то дележ будет осуществлен в соответствии с п.3, в котором самый младший пират получает 1 кусок золота второй по старшинству не получает ничего. Если второму по старшинству пирату предложить хотя бы один кусок золота, то он проголосует за этот план, т.к. его выигрыш больше. Необходимое количество голосов будет набрано и остальным пиратам можно не платить ничего, и от их вариантов голосования ничего не зависит. Соответственно дележ будет таким: самому младшему пирату не достается ничего, второму отдается 1 кусок золота, третьему ничего, а четвертый (самый старший из оставшихся) получает 99 кусков золота.
5. Осталось 5 пиратов. Необходима поддержка двух дополнительных голосов. На предыдущем шаге ничего не получают самый младший и третий пираты и они это понимают. Потому предложить им более выгодные условия и получить поддержку их голосов. Поступаем в соответствии с п 3. – отдаем самому младшему и третьему по старшинству пирату по 1 куску золота. Остальные 98 оставляем себе. Они проголосуют за дележ, т.к. в противном случае не получат ничего.
6. Продолжая индукцию, принимая во внимание, что 50 – четное число, получаем, что капитан должен предложить следующий вариант дележа: самый младший пират не получает ничего, второй по старшинству получает 1 кусок золота, третий снова не получает ничего, четвертый получает 1 кусок золота и т.д. Итого 24 куска золота. Остальные 76 оставить себе. Итого он получит 25 голосов в поддержку, включая свой. Никому из пиратов, проголосовавших за дележ не выгодно менять стратегию, т.к. при смене он не получит ничего.
Итак, капитан предлагает описанный выше план дележа золота.
Соответственно совершенным подыгровым равновесием будет следующий набор стратегий:
| Пират | 1 | 2 | 3 | 4 | … | 50 (капитан) |
| Голосование | против | за | против | за | … | за |
| Выигрыш | 0 | 1 | 0 | 1 | … | 76 |
Никому из пиратов невыгодно менять стратегию, т.к. в противном случае он не получит ничего. Соответственно равновесия является равновесием по Нэшу в полной игре и принимая во внимание метода обратной индукции во всех подыграх этой игры.