Использование модели экономического цикла Самуэльсона-Хикса (стр. 3 из 5)
, (12)где B1 и B2 - постоянные, определяемые начальными условиями.
Таким образом, при D < 0 решение носит характер колебаний, амплитуда которых возрастает (при g > 1) или убывает (при g < 1);
Решение уравнения (8) называют равновесным, если значение xt не изменяется во времени. Подстановкой в уравнение (8) можно убедиться, что xt = 0 есть равновесное решение. Равновесное решение называется устойчивым, если xt
0 при t 
; в противном случае оно называется неустойчивым. Равенства (10) и (11) показывают, что решение будет устойчивым в том и только в том случае, если оба корня характеристического уравнения по модулю меньше единицы. В случае D < 0 условию устойчивости соответствует g < 1, так как 
при этом необходимым и достаточным условием устойчивости является a2 > -1. По теореме Виета 
1 2 = -a2, так что условие a2 > -1 необходимо и в случае D > 0, но здесь оно не является достаточным. Система неравенств 
дает необходимое и достаточное условие устойчивости для данного случая. Для этого требуется, чтобы выполнялось неравенство
Систему можно заменить одним неравенством
Объединяя все полученные результаты, условие устойчивости можно представить в виде двойного неравенства
,(13)Уравнение модели экономических циклов Самуэльсона-Хикса имеет вид уравнения (8), при этом
Заметим, что Cy
0 и 
0 в силу экономического содержания этих параметров. Согласно теореме Виета, 
,(14)Условие D = 0, разделяющее колебательные и неколебательные решения, теперь имеет вид
При
характеристическое уравнение имеет вещественные корни. Из неотрицательности параметров Cy и и равенств (14) следует, что оба корня неотрицательны и обе компоненты решения (10) изменяются монотонно. При 
решение носит колебательный характер.Условие устойчивости (13) теперь принимает вид
т.е. представляет собой систему неравенств
На рис. 4. устойчивому движению соответствуют области I (монотонное движение) и II (колебательное движение). Неустойчивому движению соответствуют области III (колебательное движение) и IV (монотонное). Области V соответствуют синусоидальные колебания с постоянной амплитудой.
[5]Рис. 4. Стилизованные фазы экономического цикла
Разностные уравнения играют большую роль в экономической теории. Многие экономические законы доказывают с помощью именно этих уравнений, они используются в тех случаях, когда запаздывание оказывает существенное влияние на рассматриваемые процессы. В социально – экономических науках в целях простоты модели, связанные с запаздыванием, записывают в виде разностных уравнений, то есть в виде уравнений с дискретным временем. Наиболее широкое распространение разностные уравнения в экономической теории
Применение разностных уравнений в экономике представлено в моделях:
1. Модель рынка с запаздыванием сбыта.
2. Рыночная модель с запасами.
3. Динамическая модель Леонтьева.
4. Модель экономического цикла Самуэльсона – Хикса.
ГЛАВА 2. МОДЕЛЬ САМУЭЛЬСОНА-ХИКСА И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ
2.1 Модель Самуэльсона-Хикса
Модель Самуэльсона-Хикса включает в себя только рынок благ, и поэтому уровень цен и ставка процента предполагаются неизменными; объем предложения благ совершенно эластичен.
Объем потребления домашних хозяйств в текущем периоде зависит от величины их дохода в предшествующем периоде
Ct = Ca,t + Cyyt-1,
где Ca - автономное потребление.
Предприниматели осуществляют автономные инвестиции, объем которых при заданной ставке процента фиксирован, и индуцированные инвестиции, зависящие от прироста совокупного спроса в предшествующем периоде
It = Ia,t +
(yt-1 - yt-2).На рынке благ установится динамическое равновесие, если
,(15)гдеAt = Сa,t + Ia,t.
Уравнение (15) является неоднородным конечно-разностным уравнением второго порядка, характеризующим динамику национального дохода во времени.
Уравнение (9.1) является неоднородным конечно-разностным уравнением второго порядка, характеризующим динамику национального дохода во времени.
При фиксированной величине автономных расходов (At = A = const) в экономике достигается динамическое равновесие, когда объем национального дохода стабилизируется на определенном уровне
, т.е.yt = yt-1 = yt-2 = ... = yt-n = , где n - число периодов с неизменной величиной автономных расходов.Из уравнения (15) следует, что
= A/(1 - Cy).Посмотрим, какова будет динамика национального дохода, если в состоянии динамического равновесия изменится величина автономного спроса.
Освободимся от неоднородности в уравнении (15). Значения yt и 
удовлетворяют равенству (15), поэтому можно записать следующее однородное конечно-разностное уравнение второй степени с постоянными коэффициентами: 
, (16)где
yt 
yt - .Так как yt =
+ yt, то направление изменения yt определяется направлением изменения yt.Из теории решения дифференциальных и конечно-разностных уравнений следует, что характер изменения
yt зависит от значения дискриминанта характеристического уравнения. Поскольку в данном случае дискриминант равен (Cy + )2 - 4 , то динамика национального дохода зависит от предельной склонности к потреблению, определяющей величины мультипликатора и акселератора.Если (Cy +
)2 - 4 > 0, то изменение yt происходит монотонно; при (Cy + )2 - 4 < 0 оно будет колебательным. Следовательно, график функции 
, изображенный на рис. 5, отделяет множество сочетаний Cy, , обеспечивающих монотонное изменение yt, от множества комбинаций из значений Cy, , приводящих к колебаниям yt.