Статистический анализ и прогнозирование (стр. 7 из 9)
Исследование случайного компонента проводится с целью решения 2-х основных задач: оценки правильности выбора трендовой модели и оценки стационарности случайного процесса.
Критерий серий, основанный на медиане выборки
| Критерий серий, основанный на медиане выборки | |||||||||
| у | утеор | ε | Критерий серий | Критерий восх и нисх серий | |||||
| 1 | 6 | -10494,92571 | 10500,92571 | + | |||||
| 2 | 93 | -5894,36571 | 5987,36571 | + | - | ||||
| 3 | 693 | -1293,80571 | 1986,80571 | + | - | ||||
| 4 | 3554 | 3306,75429 | 247,24571 | + | - | ||||
| 5 | 7350 | 7907,31429 | -557,31429 | + | - | ||||
| 6 | 9012 | 12507,87429 | -3495,87429 | - | - | ||||
| 7 | 10751 | 17108,43429 | -6357,43429 | - | - | ||||
| 8 | 11157,5 | 21708,99429 | -10551,49429 | - | - | ||||
| 9 | 16838,5 | 26309,55429 | -9471,05429 | - | + | ||||
| 10 | 21671,2 | 30910,11429 | -9238,91429 | - | + | ||||
| 11 | 30485,2 | 35510,67429 | -5025,47429 | - | + | ||||
| 12 | 39031,3 | 40111,23429 | -1079,93429 | - | - | ||||
| 13 | 54365,1 | 44711,79429 | 9653,30571 | + | + | ||||
| 14 | 66714,2 | 49312,35429 | 17401,84571 | + | + | ||||
| Kmax=7 < 12,0089 | |||||||||
| V=3 < 3,9666 | |||||||||
| отклонения уровней не случайны | |||||||||
| Kmax=7 > 6,115 | |||||||||
| v=4 < 5 | |||||||||
| гипотеза о случайности подтверждается | |||||||||
| Критерий min и max пиков и ям | |||||||||
| As=0,585455914 | δAs=0,553066319 | ||||||||
| Es=-0,575714598 | δEs=0,901388454 | ||||||||
| As < 1,5 δAs = 0,829599478 | |||||||||
| Es-(6/(n+1))= -0,975714598 < 1,5 δEs=1,352082681 | |||||||||
| Уровни ряда являются нормально рапределенными | |||||||||
| As ≥ 2 δAs, Es-(6(/n+1)) ≥ δEs | |||||||||
| Данные являются нормальными, возможен анализ | |||||||||
| 1,802776908 | |||||||||
3.6 Выбор уравнения тренда
Для отображения основной тенденции развития явлений во времени применяются полиномы разной степени, экспоненты, логистические кривые и другие функции. В статистической практике параметры полиномов невысокой степени иногда имеют конкретную интерпретацию характеристик динамического ряда. Так, параметр
трактуется как характеристика средних условий ряда динамики, параметры 
, 
, 
- изменения ускорения. В статистике выработано правило выбора степени полинома модели развития, основанное на определении величин конечных разностей уровней динамических рядов. Согласно этому правилу полином первой степени (прямая) применяется как модель такого ряда динамики, у которого первые разности (абсолютные приросты) постоянны; полиномы 2-й степени – для отражения ряда динамики с постоянными вторыми разностями (ускорениями); полиномы 3-й степени – с постоянными третьими разностями и т.д. Для полиномиальных моделей характерно отсутствие прямой связи между абсолютными приростами и приростами уровней рядов динамики.Линейная функция. Параметры линейного тренда можно интерпретировать так: а – начальный уровень временного ряда в момент времени t = 0; b – средний за период абсолютный прирост уровней ряда. Применительно к данному временному ряду можно сказать, что средний за год абсолютный прирост равен 4600,56 рублей.
У=-15095,5+4600,56t
R^2=0,84
Параметры экспоненциального тренда имеют следующую интерпретацию. Параметр а – это начальный уровень временного ряда в момент времени t = 0. Величина
– это средний за единицу времени коэффициент роста уровней ряда. Средний за год цепной темп прироста временного ряда составил 73,2%. 
3.7 Экспоненциальное сглаживание
В настоящее время для учета степени «устаревания» данных во взвешенных скользящих средних используются веса, подчиняющиеся экспоненциальному закону, т.е. применяется метод экспоненциальных средних. Смысл экспоненциальных средних состоит в том, чтобы найти такие средние, в которых влияние прошлых наблюдений затухает по мере удаления от момента, для которого определяются средние. Веса в экспоненциальных средних устанавливаются в виде коэффициентов α (ΙαΙ < 1). Веса по времени убывают экспоненциально, а сумма весов стремится к 1. В качестве весов используется ряд:
; 
; 
; 
и т.д.Экспоненциальная средняя определяется по формуле Р. Брауна:
,где
– экспоненциальная средняя (сглаженное значение уровня ряда) на момент t; α – вес текущего наблюдения при расчете экспоненциальной средней; 
–фактический уровень динамического ряда в момент времени t; 
–экспоненциальная средняя предыдущего периода.Как видно из формулы, сглаженный по экспоненциальной средней уровень динамического ряда есть не что иное, как линейная комбинация двух величин: фактического уровня динамического ряда на момент времени t, т.е.
, и среднего уровня ( ), рассчитанного для предыдущего периода. Таким образом, экспоненциальная средняя ( ) формируется под влиянием всех предшествующих уровней ряда от его начала до момента t включительно.Вес, с которым участвует каждый уровень динамического ряда в определении экспоненциальных средних, зависит от параметра сглаживания
. Поэтому при использовании экспоненциальных средних в прогнозировании одной из важных проблем является выбор оптимального значения параметра .Если коэффициент
близок к 0, то веса, по которым взвешиваются уровни динамического ряда, убывают медленно, и при прогнозе в этом случае учитываются все прошлые наблюдения. Если близок к 1, то при прогнозировании учитываются в основном наблюдения последних лет, чем ближе к 1, тем в большей мере сглаженные уровни воспроизводят фактические уровни динамического ряда.Экспоненциальное сглаживание при разных значениях параметра
| Года | у | Экспоненциальные средние при α | ||||
| α=0,1 | α=0,3 | α=0,5 | α=0,7 | α=0,9 | ||
| 1991 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 |
| 1992 | 93 | 14,7 | 32,1 | 49,5 | 66,9 | 84,3 |
| 1993 | 693 | 82,53 | 230,37 | 371,25 | 505,17 | 632,13 |
| 1994 | 3554 | 429,677 | 1227,459 | 1962,625 | 2639,351 | 3261,813 |
| 1995 | 7350 | 1121,709 | 3064,221 | 4656,313 | 5936,805 | 6941,181 |
| 1996 | 9012 | 1910,738 | 4848,555 | 6834,156 | 8089,442 | 8804,918 |
| 1997 | 10751 | 2794,765 | 6619,288 | 8792,578 | 9952,532 | 10556,39 |
| 1998 | 11157,5 | 3631,038 | 7980,752 | 9975,039 | 10796,01 | 11097,39 |
| 1999 | 16838,5 | 4951,784 | 10638,08 | 13406,77 | 15025,75 | 16264,39 |
| 2000 | 21671,2 | 6623,726 | 13948,01 | 17538,98 | 19677,57 | 21130,52 |
| 2001 | 30485,2 | 9009,873 | 18909,17 | 24012,09 | 27242,91 | 29549,73 |
| 2002 | 39031,3 | 12012,02 | 24945,81 | 31521,7 | 35494,78 | 38083,14 |
| 2003 | 54365,1 | 16247,32 | 33771,6 | 42943,4 | 48704 | 52736,9 |
| 2004 | 66714,2 | 21294,01 | 43654,38 | 54828,8 | 61311,14 | 65316,47 |
Как видим, уже при
=0,9 экспоненциальные средние практически воспроизводят сам динамический ряд и не характеризует тренд. Выбор константы сглаживания достаточно произволен. Обычно используются значения в диапазоне от 0,1 до 0,5. При краткосрочных прогнозах чаще используется указанный диапазон значений : при повышении увеличивается вес последних наблюдений. А для сглаживания случайных колебаний уменьшается. При увеличении срока прогноза более поздняя информация должна иметь несколько меньший вес, т.е. величина уменьшается.