Статистические методы обработки данных (стр. 4 из 4)
ПОЛИНОМИНАЛЬНАЯ РЕГРЕССИЯ
Цель: По опытным данным построить уравнение регрессии вида у = ах2 + bх + с.
ХОД РАБОТЫ:
Рассматривается зависимость урожайности некоторой культуры уi от количества внесенных в почву минеральных удобрений хi. Предполагается, что эта зависимость квадратичная. Необходимо найти уравнение регрессии вида ỹ = ах2 + bx + c.
| x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| y | 29,8 | 58,8 | 72,2 | 101,5 | 141 | 135,1 | 156,6 | 181,7 | 216,6 | 208,2 |
Введем эти данные в электронную таблицу вместе с подписями в ячейки А1-K2. Построим график. Для этого обведем данные Y (ячейки В2-K2), вызываем мастер диаграмм, выбираем тип диаграммы «График», вид диаграммы – график с точками (второй сверху левый), нажимаем «Далее», переходим на закладку «Ряд» и в поле «Подписи оси Х» делаем ссылку на В2-K2, нажимаем «Готово». График можно приблизить полиномом 2 степени у = ах2 + bх + с. Для нахождения коэффициентов a, b, c нужно решить систему уравнений:
Рассчитаем суммы. Для этого в ячейку А3 вводим подпись «Х^2», а в В3 вводим формулу «= В1*В1» и Автозаполнением переносим ее на всю строку В3-K3. В ячейку А4 вводим подпись «Х^3», а в В4 формулу «=В1*В3» и Автозаполнением переносим ее на всю строку В4-K4. В ячейку А5 вводим «Х^4», а в В5 формулу «=В4*В1», автозаполняем строку. В ячейку А6 вводим «Х*Y», а в В8 формулу «=В2*В1», автозаполняем строку. В ячейку А7 вводим «Х^2*Y», а в В9 формулу «=В3*В2», автозаполняем строку. Теперь считаем суммы. Выделяем другим цветом столбец L, щелкнув по заголовку и выбрав цвет. В ячейку L1 помещаем курсор и щелкнув по кнопке автосуммы со значком ∑, вычисляем сумму первой строки. Автозаполнением переносим формулу на ячейки L1-710.
Решаем теперь систему уравнений. Для этого вводим основную матрицу системы. В ячейку А13 вводим подпись «А=», а в ячейки матрицы В13-D15 вводим ссылки, отраженные в таблице
| B | C | D | |
| 13 | =L5 | =L4 | =L3 |
| 14 | =L3 | =L2 | =L1 |
| 15 | =L2 | =L1 | =9 |
Вводим также правые части системы уравнений. В G13 вводим подпись «В=», а в Н13-Н15 вводим, соответственно ссылки на ячейки «=L7», «=L6», «=L2». Решаем систему матричным методом. Из высшей математики известно, что решение равно А-1В. Находим обратную матрицу. Для этого в ячейку J13 вводим подпись «А обр.» и, поставив курсор в K13 задаем формулу МОБР (категория «Математические»). В качестве аргумента «Массив» даем ссылку на ячейки В13:D15. Результатом также должна быть матрица размером 4×4. Для ее получения обводим ячейки K13-М15 мышью, выделяя их и нажимаем F2 и Ctrl+Shift+Enter. Результат – матрица А-1. Найдем теперь произведение этой матрицы на столбец В (ячейки Н13-Н15). Вводим в ячейку А18 подпись «Коэффициенты» и в В18 задаем функцию МУМНОЖ (категория «Математические»). Аргументами функции «Массив 1» служит ссылка на матрицу А-1 (ячейки K13-М15), а в поле «Массив 2» даем ссылку на столбец В (ячейки Н13-Н16). Далее выделяем В18-В20 и нажимаем F2 и Ctrl+Shift+Enter. Получившийся массив – коэффициенты уравнения регрессии a, b, c. В результате получаем уравнение регрессии вида: у = 1,201082х2 – 5,619177х + 78,48095.
Построим графики исходных данных и полученных на основе уравнения регрессии. Для этого в ячейку А8 вводим подпись «Регрессия» и в В8 вводим формулу «=$В$18*В3+$В$19*В1+$В$20». Автозаполнением переносим формулу в ячейки В8-K8. Для построения графика выделяем ячейки В8-K8 и, удерживая клавишу Ctrl, выделяем также ячейки В2-М2. Вызываем мастера диаграмм, выбираем тип диаграммы «График», вид диаграммы – график с точками (второй сверху левый), нажимаем «Далее», переходим на закладку «Ряд» и в поле «Подписи оси Х» делаем ссылку на В2-М2, нажимаем «Готово». Видно, что кривые почти совпадают.
ВЫВОД: в процессе работы я по опытным данным научился строить уравнение регрессии вида у = ах2 + bх + с.
| x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |||
| y | 29,8 | 58,8 | 72,2 | 101,5 | 141 | 135,1 | 156,6 | 181,7 | 216,6 | 208,2 | |||
| X^2 | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | |||
| X^3 | 0 | 1 | 8 | 27 | 64 | 125 | 216 | 343 | 512 | 729 | |||
| X^4 | 0 | 1 | 16 | 81 | 256 | 625 | 1296 | 2401 | 4096 | 6561 | |||
| X*Y | 0 | 58,8 | 144,4 | 304,5 | 564 | 675,5 | 939,6 | 1271,9 | 1732,8 | 1873,8 | |||
| X^2*Y | 0 | 58,8 | 288,8 | 913,5 | 2256 | 3377,5 | 5637,6 | 8903,3 | 13862,4 | 16864,2 | |||
| Регресс. | 78,48095 | 85,30121 | 94,52364 | 106,1482 | 120,175 | 136,6039 | 155,435 | 176,6682 | 200,3036 | 226,3412 | |||
| A= | 15333 | 2025 | 285 | B= | 52162,1 | A Обр. | 0,003247 | -0,03247 | 0,059524 | ||||
| 2025 | 285 | 45 | 7565,3 | -0,03247 | 0,341342 | -0,67857 | |||||||
| 285 | 45 | 9 | 1301,5 | 0,059524 | -0,67857 | 1,619048 | |||||||
| Коэффиц. | 1,201082 | a | |||||||||||
| 5,619177 | b | ||||||||||||
| 78,48095 | c | ||||||||||||
