Статистические методы обработки данных (стр. 3 из 4)

F-критическое

5,317655

Видно, что F-статистика меньше, чем F-критическое, значит, регрессионная модель не адекватна. В последней строке приведены регрессионная сумма квадратов

и остаточные суммы квадратов

. Важно, чтобы регрессионная сумма (объясненная регрессией) была намного больше остаточной (не объясненная регрессией, вызванная случайными факторами). В нашем случае это условие не выполняется, что говорит о плохой регрессии.

Вывод:В ходе работы я освоил методы построения линейного уравнения парной регрессии с помощью ЭВМ, научился получать и анализировать основные характеристики регрессионного уравнения.

Лабораторная работа № 4

НЕЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ

Цель: освоить методы построения основных видов нелинейных уравнений парной регрессии с помощью с помощью ЭВМ (внутренне линейные модели), научиться получать и анализировать показатели качества регрессионных уравнений.

Рассмотрим случай, когда нелинейные модели с помощью преобразования данных можно свести к линейным (внутренне линейные модели).

ПРИМЕР. Построить уравнение регрессии у = f(х) для выборки х_пу_п (f = 1,2,…,10). В качестве f(х) рассмотреть четыре типа функций – линейная, степенная, показательная и гиперболу:

у = Ах + В; у = Ах^В; у = Ае^Вх; у = А/х + В.

Необходимо найти их коэффициенты А и В, и сравнив показатели качества, выбрать функцию, которая наилучшим образом описывает зависимость.

Прибыль Y	0,3	1,2	2,8	5,2	8,1	11,0	16,8	16,9	24,7	29,4
Прибыль X	0,25	0,50	0,75	1,00	1,25	1,50	1,75	2,00	2,25	2,50

Введем данные в таблицу вместе с подписями (ячейки A1-K2). Оставим свободными три строчки ниже таблицы для ввода преобразованных данных, выделим первые пять строк, проведя по левой серой границе по числам от 1 до 5 и выбрать какой-либо цвет (светлый – желтый или розовый) раскрасить фон ячеек. Далее, начиная с A6, выводим параметры линейной регрессии. Для этого в ячейку A6 делаем подпись «Линейная» и в соседнюю ячейку B6 вводим функцию ЛИНЕЙН. В полях «Изв_знач_x» даем ссылку на B2-K2 и B1-K1, следующие два поля принимают значения по единице. Далее обводим область ниже в 5 строчек и левее в 2 строки и нажимаем F2 и Ctrl+Shift+Enter. Результат - таблица с параметрами регрессии, из которых наибольший интерес представляет коэффициент детерминации в первом столбце третий сверху. В нашем случае он равен R₁= 0,951262. Значение F-критерия, позволяющего проверить адекватность модели F₁ = 156,1439

(четвертая строка, первый столбец). Уравнение регрессии равно

y = 12,96x+6,18 (коэффициенты a и b приведены в ячейках B6 и C6).

Линейная	12,96	-6,18
1,037152	1,60884
0,951262	2,355101
156,1439	8
866,052	44,372

Определим аналогичные характеристики для других регрессий и в результате сравнения коэффициентов детерминации найдем лучшую регрессионную модель. Рассмотрим гиперболическую регрессию. Для ее получения преобразуем данные. В третьей строке в ячейку A3 введем подпись «1/x» а в ячейку B3 введем формулу «=1/B2». Растянем автозаполнением данную ячейку на область B3-K3. Получим характеристики регрессионной модели. В ячейку А12 введем подпись «Гипербола», а в соседнюю функцию ЛИНЕЙН. В полях «Изв_знач_y» и «Изв_знач_x2 даем ссылку на B1-K1 и преобразованные данные аргумента x – B3-K3, следующие два поля принимают значения по единице. Далее обводим область ниже 5 строчек и левее в 2 строки и нажимаем F2 и Ctrl+Shift+Enter. Получаем таблицу параметров регрессии. Коэффициент детерминации в данном случае равен R₂ = 0,475661, что намного хуже, чем в случае линейной регрессии. F-статистика равна F₂ = 7,257293. Уравнение регрессии равно y = -6,25453x^18,96772.

Гипербола	-6,25453	18,96772
2,321705	3,655951
0,475661	7,724727
7,257293	8
433,0528	477,3712

Рассмотрим экспоненциальную регрессию. Для ее линеаризации получаем уравнение

, где ỹ = lny, ã = b,

= lna. Видно, что надо сделать преобразование данных – yзаменить на lny. Ставим курсор в ячейку А4 и делаем заголовок «lny». Ставим курсор в В4 и вводим формулу LN (категория «Математические»). В качестве аргумента делаем ссылку на В1. Автозаполнением распространяем формулу на четвертую строку на ячейки В4-K4. Далее в ячейке F6 задаем подпись «Экспонента» и в соседней G6 вводим функцию ЛИНЕЙН, аргументами которой будут преобразованные данные В4-K4 (в поле «Изв_знач_y»), а остальные поля такие же как и для случая линейной регрессии (B2-K2, 1, 1). Далее обводим ячейки G6-H10 и нажимаем F2 и Ctrl+Shift+Enter. Результат R₃ = 0,89079, F₃ = 65,25304, что говорит об очень хорошей регрессии. Для нахождения коэффициентов уравнения регрессии b = ã;

ставим курсор в J6 и делаем заголовок «а=», а в соседней К6 формулу «=ЕХР(Н6)», в J7 даем заголовок «b=», а в К7 формулу «=G6». Уравнение регрессии есть y = 0,511707· e^6,197909^x.

Экспонента	1,824212	-0,67	a=	0,511707
0,225827	0,350304	b=	6,197909
0,89079	0,512793
65,25304	8
17,15871	2,103652

Рассмотрим степенную регрессию. Для ее линеаризации получаем уравнение ỹ = ã

, где ỹ = lny,

= lnx, ã = b,

= lna. Видно, что надо сделать преобразование данных – y заменить на lny и x заменить на lnx. Строчка с lny у нас уже есть. Преобразуем переменные х. В ячейку А5 даем подпись «lnx», а в В5 и вводим формулу LN (категория «Математические»). В качестве аргумента делаем ссылку на В2. Автозаполнением распространяем формулу на пятую строку на ячейки B5-K5. Далее в ячейке F12 задаем подпись «Степенная» и в соседней G12 вводим функцию ЛИНЕЙН, аргументами которой будут преобразованные данные B4-K4 (в поле «Изв_знач_у»), и B5-K5 (в поле «Изв_знач_х»), остальные поля – единицы. Далее освободим ячейки G12-H16 и нажимаем F2 и Ctrl+Shift+Enter. Результат R₄ = 0,997716, F₄ = 3494,117, что говорит об хорошей регрессии. Для нахождения коэффициентов уравнения регрессии b = ã;

ставим курсор в J12 и делаем заголовок «а=», а в соседней К12 формулу «=ЕХР(Н12)», в J13 даем заголовок «b=», а в К13 формулу «=G12». Уравнение регрессии есть у = 4,90767/х+ 7,341268.

Степенная	1,993512	1,590799	a=	4,90767
0,033725	0,023823	b=	7,341268
0,997716	0,074163
3494,117	8
19,21836	0,044002

Проверим, все ли уравнения адекватно описывают данные. Для этого нужно сравнить F-статистики каждого критерия с критическим значением. Для его получения вводим в А21 подпись «F-критическое», а в В21 функцию FРАСПОБР, аргументами которой вводим соответственно «0,05» (уровень значимости), «1» (число факторов Х в строке «Уровень значимости 1») и «8» (степень свободы 2 = n – 2). Результат 5,317655. F – критическое больше F – статистики значит модель адекватна. Также адекватны и остальные регрессии. Для того, чтобы определить, какая модель наилучшим образом описывает данные, сравним индексы детерминации для каждой модели R₁, R₂, R₃, R₄. Наибольшим является R₄ = 0,997716. Значит опытные данные лучше описывать у = 4,90767/х+ 7,341268.

Вывод:В ходе работы я освоил методы построения основных видов нелинейных уравнений парной регрессии с помощью с помощью ЭВМ (внутренне линейные модели), научился получать и анализировать показатели качества регрессионных уравнений.

Y	0,3	1,2	2,8	5,2	8,1	11	16,8	16,9	24,7	29,4
X	0,25	0,5	0,75	1	1,25	1,5	1,75	2	2,25	2,5
1/x	4	2	1,333333	1	0,8	0,666667	0,571429	0,5	0,444444	0,4
ln y	-1,20397	0,182322	1,029619	1,648659	2,0918641	2,397895	2,821379	2,827314	3,206803	3,380995
ln x	-1,38629	-0,69315	-0,28768	0	0,2231436	0,405465	0,559616	0,693147	0,81093	0,916291
Линейная	12,96	-6,18	Экспонента	1,824212	-0,67	a=	0,511707
1,037152	1,60884	0,225827	0,350304	b=	6,197909
0,951262	2,355101	0,89079	0,512793
156,1439	8	65,25304	8
866,052	44,372	17,15871	2,103652
Гипербола	-6,25453	18,96772	Степенная	1,993512	1,590799	a=	4,90767
2,321705	3,655951	0,033725	0,023823	b=	7,341268
0,475661	7,724727	0,997716	0,074163
7,257293	8	3494,117	8
433,0528	477,3712	19,21836	0,044002
F - критическое	5,317655

Лабораторная работа № 5