Средние величины и показатели вариации (стр. 2 из 3)

Исследование вариации в статистике имеет большое значение, помогает познать сущность изучаемого явления. Особенно актуально оно в период формирования многоукладной экономики. Измерение вариации, выяснение ее причины, выявление влияния отдельных факторов дает важную информацию (например, о продолжительности жизни людей, доходах и расходах населения, финансовом положении предприятия и т.п.) для принятия научно обоснованных управленческих решений.

Средняя величина дает обобщающую характеристику признака изучаемой совокупности, но она не раскрывает строения совокупности, которое весьма существенно для ее познания. Средняя не показывает, как располагаются около нее варианты усредняемого признака, сосредоточены ли они вблизи средней или значительно отклоняются от нее. Средняя величина признака в двух совокупностях может быть одинаковой, но в одном случае все индивидуальные значения отличаются от нее мало, а в другом – эти отличия велики, т.е. в одном случае вариация признака мала, а в другом – велика, это имеет весьма важное значение для характеристики надежности средней величины.

Чем больше варианты отдельных единиц совокупности различаются между собой, тем больше они отличаются от своей средней, и наоборот, - чем меньше варианты отличаются друг от друга, тем меньше они отличаются от средней, которая в таком случае будет более реально представлять всю совокупность. Вот почему ограничиваться вычислением одной средней в ряде случаев нельзя. Нужны и показатели, характеризующие отклонения отдельных значений от общей средней.

4. Методические указания и решение типовых задач

Средняя является обобщающей характеристикой совокупности единиц по качественно однородному признаку.

В статистике применяются различные виды средних: арифметическая, гармоническая, квадратическая, геометрическая и структурные средние — мода, медиана. Средние, кроме моды и медианы, исчисляются в двух формах: простой и взвешенной. Выбор формы средней зависит от исходных данных и содержания определяемого показателя. Наибольшее распространение получила средняя арифметическая, как простая, так и взвешенная.

Средняя арифметическая простая равна сумме значений признака, деленной на их число:

S х

= ¾¾¾¾,

где х - значение признака (вариант);

n — число единиц признака.

Средняя арифметическая простая применяется в случаях, когда варианты представлены индивидуально в виде их перечня в любом порядке или ранжированного ряда.

Пример 1. Доходы пяти банков по операциям с ценными бумагами за отчетный период составили: 0,4; 0,7; 0,8; 1,1; 1,2 тыс. руб.

Определить средний доход банка по данной операции.

Решение. Средний доход пяти банков по операциям с ценными бумагами равен

х = 4,2/5 = 0,84 тыс. руб.

Если данные представлены в виде дискретных или интервальных 1 рядов распределения, в которых одинаковые значения признака (х) объединены в группы, имеющие различное число единиц (f), называемое частотой (весом), применяется средняя арифметическая взвешенная:

S хf

х = ¾¾¾¾,

Пример 2. Имеются данные страховых организаций области числе заключенных договоров по личному добровольному страхованию.

№ группы	Число договоров, тыс. х	Число страховых организацийf	Удельный вес страховых организаций,d	Число заключенных договоровxf	xd
IIIIIIIVV	20 26303236	61015163	122030326	120260450512108	2,45,29,010,242,16
Итого		50	100	1450	29,0

Определить среднее число заключенных договоров в расчете на одну страховую организацию области.

Решение. Среднее число договоров на одну страховую организацию определяется отношением общего числа заключенных договоров к числу страховых организаций:

20 • 6 + 26 • 10 + 30 • 15 + 32 • 16 + 36 • 3 1450

————————————————— = —— = 29 тыс.

50 50

В качестве весов могут быть использованы относительные величины, выраженные в процентах (d). Метод расчета средней не изменится:

S хd

х = ¾¾¾¾,

Если проценты заменить коэффициентами (Sd = 1), то х = Sxd.

х = 20 • 0,12 + 26 • 0,2 + 30 • 0,3 + 32 • 0,32 + 36 .0,06 = 29,0 тыс.

Пример 3. По данным выборочного наблюдения имеется следующее распределение фермерских хозяйств района по размерам угодий:

№	Хозяйства по размерам	Число хозяйств	Середина
группы	угодий,га	интервала
x	f	x`	xf
I	До40	20	35	700
II	40—50	40	45	1800
Ш	50—60	25	55	1375
IV	60—70	10	65	650
V	Свыше 70	5	75	375
Итого		100	-	4900

Определить средний размер угодья на одно фермерское хозяйство:

по району.

Решение. Для расчета средней из интервального ряда необходимо выразить варианты одним (дискретным) числом. Для закрытых интервалов (группы II—IV) за дискретное число принимается средняя: арифметическая простая из верхнего и нижнего значений интервала. Для определения варианты в группах с открытыми интервалами группы I и V) предполагается, что для первой группы величина интервала равна интервалу второй группы, а в последней группе —интервалу предыдущей. Дальнейший расчет аналогичен примеру 2:

x = 4900/100 = 49 га.

В статистике приходится вычислять средние по вариантам, которые являются групповыми (частными) средними. В таких случаях общая средняя определяется как средняя арифметическая взвешенная из групповых средних, в которой весами являются объемы единиц в группах.

Пример 4. Просроченная задолженность по кредитам акционерных обществ (АО) за отчетный период характеризуется следующими данными:

№ АО	Задолженность по кредитам, тыс. руб. f	Удельный вес просроченной задолженности х	Объем просроченной задолженностих f
123	2500 3000 1000	20 30 16	500 900 160
Итого	6500	—	1560

Определить средний процент просроченной задолженности АО.

Решение. Экономическое содержание показателя равно

Удельный вес просроченной задолженности, % =

объем просроченной задолженности

———————————————— • 100.

объем общей задолженности

Для расчета среднего процента просроченной задолженности надо сравнить суммарные показатели просроченной и общей задолженности АО.

Наряду со средней арифметической применяется средняя гармоническая, которая вычисляется из обратных значений осредняемого признака и по форме может быть простой и взвешенной.

Пример 5. Доходы банков в отчетном году характеризуются следующими показателями:

№банка	Средняя процентная ставкаx	Доход банка, тыс. руб.М = xf	Сумма кредита M/x
12	40 35	600 350	1500 1000
Итого	—	950	2500

Определить среднюю процентную ставку банков.

Решение. Основой выбора формы средней является реальное ,содержание определяемого показателя:

Ставка, % = (доход банка / сумма кредита) • 100.

Средняя процентная ставка равна отношению доходов банков к сумме их кредита. В данном примере отсутствуют прямые данные о кредитах. Но их суммы можно определить косвенным путем, разделив доход банка (М) на процентную ставку (x) (см. последнюю графу).

Приведенная формула называется средней гармонической взвешенной, где веса представляют собой произведения процентной ставки (х) на сумму кредита (f): М = xf.

Мода — значение признака, наиболее часто встречающееся в изучаемой совокупности. Для дискретных рядов распределения модой является вариант с наибольшей частотой.

Для интервальных вариационных рядов распределения мода рассчитывается по формуле.

где Мо —мода;

— нижняя граница модального интервала;

— величина модального интервала;

— частота модального интервала;

— частота интервала, предшествующего модальному;

— частота интервала, следующего за модальным.

Пример 6. Имеются данные о распределении работников предприятия по уровню среднемесячной заработной платы:

№ группы	Заработная плата. руб.	Число работников,чел.	Сумманакопленных частот
I	500—600	10	10
II	600—700	30	40
III	700—800	70	110
IV	800—900	60	—
V	900—1000	25	—
VI	Свыше 1000	5	—

Определить модальный размер заработной платы.

Решение. Первоначально по наибольшей частоте признака определим модальный интервал. Наибольшее число работников - 70 человек — имеют заработную плату в интервале 700—800 руб., который и является модальным.

Медианой называется вариант, расположенный в середине упорядоченного вариационного ряда, делящий его на две равные части.

В примере 1 медианой является величина признака, равная 0,8. В ранжированном ряду из четного числа членов медианой будет средняя арифметическая из двух вариантов, расположенных в середине ряда.

Медиана дискретного вариационного ряда определяется по сумме накопленных частот, которая должна превышать половину всего объема единиц совокупности.

Для интервальных вариационных рядов медиана рассчитывается по формуле.

где Me — медиана;

— нижняя граница медианного интервала;

— величина медианного интервала;

Средние величины и показатели вариации (стр. 2 из 3)

Сумма кредита