Составление и решение уравнений линейной регрессии (стр. 1 из 3)
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
КАФЕДРА ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ И МОДЕЛЕЙ
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по дисциплине
Эконометрика
Липецк 2009
Задача 1
По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (
, млн. руб.) от объема капиталовложений ( 
, млн. руб.)Требуется:
1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.
2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков
; построить график остатков.3. Проверить выполнение предпосылок МНК.
4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t‑критерия Стьюдента
5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью
- критерия Фишера 
, найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя
при уровне значимости 
, если прогнозное значения фактора Х составит 80% от его максимального значения.7. Представить графически: фактические и модельные значения
точки прогноза.8. Составить уравнения нелинейной регрессии:
· гиперболической;
· степенной;
· показательной.
Привести графики построенных уравнений регрессии.
9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации, коэффициенты эластичности и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.
 | 17 | 22 | 10 | 7 | 12 | 21 | 14 | 7 | 20 | 3 |
 | 26 | 27 | 22 | 19 | 21 | 26 | 20 | 15 | 30 | 13 |
Решение
1. Уравнение линейной регрессии имеет вид: y=a+b*x.
Данные, используемые для расчета параметров aиbлинейной модели, представлены в табл. 1:
Таблица 1
| n | х | у | ух | хх | y-ycp | (у-уср)2 | х-хср | (х-хср)2 | Упр | ε | ε2 | εt-εt-1 | (εt-εt-1)2 |
| 1 | 17 | 26 | 442 | 289 | 4,1 | 16,81 | 3,7 | 13,69 | 27,71 | 1,71 | 2,92 | ||
| 2 | 22 | 27 | 594 | 484 | 5,1 | 26,01 | 8,7 | 75,69 | 32,26 | 5,26 | 27,67 | 3,55 | 12,60 |
| 3 | 10 | 22 | 220 | 100 | 0,1 | 0,01 | -3,3 | 10,89 | 21,34 | -0,66 | 0,44 | -5,92 | 35,05 |
| 4 | 7 | 19 | 133 | 49 | -2,9 | 8,41 | -6,3 | 39,69 | 18,61 | -0,39 | 0,15 | 0,27 | 0,07 |
| 5 | 12 | 21 | 252 | 144 | -0,9 | 0,81 | -1,3 | 1,69 | 23,16 | 2,16 | 4,67 | 2,55 | 6,50 |
| 6 | 21 | 26 | 546 | 441 | 4,1 | 16,81 | 7,7 | 59,29 | 31,35 | 5,35 | 28,62 | 3,19 | 10,18 |
| 7 | 14 | 20 | 280 | 196 | -1,9 | 3,61 | 0,7 | 0,49 | 24,98 | 4,98 | 24,80 | -0,37 | 0,14 |
| 8 | 7 | 15 | 105 | 49 | -6,9 | 47,61 | -6,3 | 39,69 | 18,61 | 3,61 | 13,03 | -1,37 | 1,88 |
| 9 | 20 | 30 | 600 | 400 | 8,1 | 65,61 | 6,7 | 44,89 | 30,44 | 0,44 | 0,19 | -3,17 | 10,05 |
| 10 | 3 | 13 | 39 | 9 | -8,9 | 79,21 | -10,3 | 106,09 | 14,97 | 1,97 | 3,88 | 1,53 | 2,34 |
| сумма | 133 | 219 | 3211 | 2161 | 264,90 | 392,1 | 24,43 | 106,37 | 0,26 | 78,80 | |||
| ср. знач. | 13,3 | 21,9 | 321,1 | 216,1 |
; 
Уравнение линейной регрессии имеет вид: у=11,78+0,76х
С увеличением объема капиталовложений на 1 млн. руб. объем выпускаемой продукции увеличится в среднем на 76 тыс. руб. Это свидетельствует об эффективности работы предприятия.
2. Вычисленные остатки и остаточная сумма квадратов представлены в таблице 1. Дисперсию остатков
оценим по формуле: 
– стандартная ошибка оценки.Построим график остатков (рис. 1) 
Рисунок 1
3. Проверим выполнение предпосылок МНК на основе анализа остаточной компоненты (см. табл. 1).
Независимость остатков проверяется с помощью критерия Дарбина – Уотсона по формуле
, т. к. 
=0,74, d1=1,08, d2=1,36, т.е. d<d1, значитряд остатковсодержит автокорреляцию.Для обнаружения гетероскедастичности используем тест Голдфельда – Квандта:
1) Упорядочим наблюдения по мере возрастания переменной х.
2) Разделим совокупность на 2 группы по 5 наблюдений и для каждой определим уравнение регрессии. Воспользуемся инструментом Регрессия пакета Анализ данных, полученные результаты представлены в табл. 2.
Таблица 2
| n | у1 | Предсказанное у1 | е1 | е12 | у2 | Предсказанное у2 | е2 | е22 |
| 1 | 13 | 13,81 | -0,81 | 0,66 | 22 | 22,46 | -0,46 | 0,21 |
| 2 | 15 | 16,52 | -1,52 | 2,30 | 26 | 25,73 | 0,27 | 0,07 |
| 3 | 19 | 16,52 | 2,48 | 6,16 | 26 | 27,60 | -1,60 | 2,57 |
| 4 | 20 | 21,25 | -1,25 | 1,57 | 27 | 28,07 | -1,07 | 1,15 |
| 5 | 21 | 19,90 | 1,10 | 1,21 | 30 | 27,14 | 2,86 | 8,20 |
| сумма | 11,90 | 12,20 |
3) Определим остаточную сумму квадратов для первой
и второй регрессии 
.4) Вычислим отношение
, т. к. Fнабл=0,98, Fкр(α,к1,к2)= Fкр(0,05,5,5) =5,05 (из таблицы критерия Фишера), Fнабл <Fкр, то гетероскедастичность отсутствует, предпосылка о равенстве дисперсий остаточных величии не нарушена.4. Проверим значимость параметров уравнения регрессии с помощью t‑критерия Стьюдента
Расчетные значения t‑критерия Стьюдента для коэффициента уравнения регрессии а1 приведены в четвертом столбце протокола Excel, полученном при использовании инструмента Регрессия (рис. 2). 
Рисунок 2
Табличное значение t‑критерия Стьюдента 2,30. tрасч=6,92, так как tрасч>tтабл, то коэффициент а1 значим.
5. Значение коэффициента детерминации (R – квадрат) можно найти в таблице Регрессионная статистика (рис. 2). Коэффициент детерминации/ Он показывает долю вариации результативного признака под воздействием изучаемых факторов. Следовательно, около 85,7% вариации зависимой переменной (объем выпуска продукции) учтено в модели и обусловлено влиянием включенного фактора (объем капиталовложений).
Значение F– критерия Фишера можно найти в таблице протокола Excel (рис. 2), Fрасч=47,83. Табличное значение F– критерия при доверительной вероятности 0,05 равно 4,46, т. к. Fрасч>Fтабл, уравнение регрессии следует признать адекватным.
Определим среднюю относительную ошибку аппроксимации? в среднем расчетные значения у для линейной модели отличаются от фактических на 1% – хорошее качество модели.
6. Осуществим прогнозирование среднего значения показателя
при уровне значимости , если прогнозное значения фактора Х составит 80% от его максимального значения.Модель зависимости объема выпуска продукции от величины капиталовложений у=11,78+0,76х. Для того чтобы определить среднее значение фактора У при 80% максимального значения фактора Х, необходимо подставить Хпрогн=Хmax*0,8=22*0,8=17,6 в полученную модель: Упрогн=11,78+0,76*17,6=25,17
Для построения интервального прогноза рассчитаем доверительный интервал. Критерий Стьюдента (при v=n -2=10–2=8) равен 1,8595. Ширину доверительного интервала вычислим по формуле: