Составление и решение уравнений линейной регрессии (стр. 2 из 3)
,таким образом, прогнозное значение будет находиться между:
Yпрогн(80 % max)+= 25,17+7,26=32,43 – верхняя граница прогноза,
Yпрогн(80 % max) – =25,17–7,26=17,91 – нижняя граница прогноза.
7. Графическое представление (рис. 3) модели парной регрессии зависимости объема выпуска продукции от объема капиталовложений: фактические и модельные значения
точки прогноза. 
Рисунок 3
8. Уравнение гиперболической функции: y=a+b/x. Произведем линеаризацию путем замены Х=1/х. В результате получим линейное уравнение y=a+bХ. Рассчитаем его параметры по данным таблицы 3
Таблица 3
| n | х | у | Х | уХ | Х2 | y-ycp | (у-уср)2 | Упр | ε | ε2 | /ε/у/*100% |
| 1 | 17 | 26 | 0,05882 | 1,52941 | 0,0035 | 4,1 | 16,81 | 24,3846 | 1,62 | 2,61 | 6,213 |
| 2 | 22 | 27 | 0,04545 | 1,22727 | 0,0021 | 5,1 | 26,01 | 25,066 | 1,93 | 3,74 | 7,163 |
| 3 | 10 | 22 | 0,10000 | 2,20000 | 0,0100 | 0,1 | 0,01 | 22,2859 | -0,29 | 0,08 | 1,299 |
| 4 | 7 | 19 | 0,14286 | 2,71429 | 0,0204 | -2,9 | 8,41 | 20,1015 | -1,10 | 1,21 | 5,797 |
| 5 | 12 | 21 | 0,08333 | 1,75000 | 0,0069 | -0,9 | 0,81 | 23,1354 | -2,14 | 4,56 | 10,168 |
| 6 | 21 | 26 | 0,04762 | 1,23810 | 0,0023 | 4,1 | 16,81 | 24,9557 | 1,04 | 1,09 | 4,016 |
| 7 | 14 | 20 | 0,07143 | 1,42857 | 0,0051 | -1,9 | 3,61 | 23,7422 | -3,74 | 14,00 | 18,711 |
| 8 | 7 | 15 | 0,14286 | 2,14286 | 0,0204 | -6,9 | 47,61 | 20,1015 | -5,10 | 26,02 | 34,010 |
| 9 | 20 | 30 | 0,05000 | 1,50000 | 0,0025 | 8,1 | 65,61 | 24,8344 | 5,17 | 26,68 | 17,219 |
| 10 | 3 | 13 | 0,33333 | 4,33333 | 0,1111 | -8,9 | 79,21 | 10,3929 | 2,61 | 6,80 | 20,054 |
| сумма | 219 | 20,0638 | 0,1843 | 265 | 219 | 0,00 | 86,80 | 124,65 | |||
| ср. знач. | 13,3 | 21,9 | 0,10757 | 2,00638 | 0,0184 | 12,465 |
,получим следующее уравнение гиперболической модели: ỹ =27,38–50,97/х.
Уравнение степенной модели имеет вид: у=а*хb. Для линеаризации переменных произведем логарифмирование обеих частей уравнения: lgy=lga+blgx. Обозначим Y=lgy', X=lgx, A=lga. Тогда уравнение примет вид Y=A+bX – линейное уравнение регрессии. Рассчитаем его параметры, используя данные табл. 4:
Таблица 4
| n | у | Y=lg(y) | х | X=lg(x) | YX | X2 | yпр | ε | ε2 | |ε/y|*100% |
| 1 | 26 | 1,415 | 17 | 1,230 | 1,741 | 1,514 | 24,823 | 1,177 | 1,385 | 0,045 |
| 2 | 27 | 1,431 | 22 | 1,342 | 1,921 | 1,802 | 27,476 | -0,476 | 0,226 | 0,018 |
| 3 | 22 | 1,342 | 10 | 1,000 | 1,342 | 1,000 | 20,142 | 1,858 | 3,452 | 0,084 |
| 4 | 19 | 1,279 | 7 | 0,845 | 1,081 | 0,714 | 17,503 | 1,497 | 2,242 | 0,079 |
| 5 | 21 | 1,322 | 12 | 1,079 | 1,427 | 1,165 | 21,641 | -0,641 | 0,411 | 0,031 |
| 6 | 26 | 1,415 | 21 | 1,322 | 1,871 | 1,748 | 26,977 | -0,977 | 0,955 | 0,038 |
| 7 | 20 | 1,301 | 14 | 1,146 | 1,491 | 1,314 | 22,996 | -2,996 | 8,975 | 0,150 |
| 8 | 15 | 1,176 | 7 | 0,845 | 0,994 | 0,714 | 17,503 | -2,503 | 6,263 | 0,167 |
| 9 | 30 | 1,477 | 20 | 1,301 | 1,922 | 1,693 | 26,464 | 3,536 | 12,505 | 0,118 |
| 10 | 13 | 1,114 | 3 | 0,477 | 0,531 | 0,228 | 12,537 | 0,463 | 0,214 | 0,036 |
| сумма | 219 | 13,273 | 10,589 | 14,322 | 11,891 | 0,939 | 36,630 | 0,764 | ||
| ср. знач. | 1,327 | 1,059 | 1,432 | 1,189 | 0,076 |
Уравнение регрессии будет иметь вид: У=0,9103+0,3938*Х. Перейдем к исходным переменным х и у, выполнив потенцирование данного уравнения: ỹ=100,9103*х0,3938.
Получим уравнение степенной модели регрессии: ỹ=8,1339*х0,3938.
Уравнение показательной кривой: ỹ=а*bx. Осуществим логарифмирование обеих частей уравнения: lgy=lga+x*lgb. Обозначим Y=lgy', В=lgb, A=lga. Получим линейное уравнение регрессии: Y=A+Вх. Рассчитаем его параметры, используя данные табл. 5
Таблица 5
| n | у | Y=lg(y) | х | Ух | х2 | У-Уср | (У-Уср)2 | х-хср | (х-хср)2 | Упр | ε | ε2 | |ε/y|*100% |
| 1 | 26 | 1,415 | 17 | 24,0545 | 289 | 0,088 | 0,008 | 3,7 | 13,69 | 24,365 | 1,635 | 2,673 | 26 |
| 2 | 27 | 1,431 | 22 | 31,49 | 484 | 0,104 | 0,011 | 8,7 | 75,69 | 29,318 | -2,318 | 5,375 | 27 |
| 3 | 22 | 1,342 | 10 | 13,4242 | 100 | 0,015 | 0,000 | -3,3 | 10,89 | 18,804 | 3,196 | 10,21 | 22 |
| 4 | 19 | 1,279 | 7 | 8,95128 | 49 | -0,049 | 0,002 | -6,3 | 39,69 | 16,827 | 2,173 | 4,720 | 19 |
| 5 | 21 | 1,322 | 12 | 15,8666 | 144 | -0,005 | 0,000 | -1,3 | 1,69 | 20,248 | 0,752 | 0,565 | 21 |
| 6 | 26 | 1,415 | 21 | 29,7144 | 441 | 0,088 | 0,008 | 7,7 | 59,29 | 28,253 | -2,253 | 5,076 | 26 |
| 7 | 20 | 1,301 | 14 | 18,2144 | 196 | -0,026 | 0,001 | 0,7 | 0,49 | 21,804 | -1,804 | 3,255 | 20 |
| 8 | 15 | 1,176 | 7 | 8,23264 | 49 | -0,151 | 0,023 | -6,3 | 39,69 | 16,827 | -1,827 | 3,339 | 15 |
| 9 | 30 | 1,477 | 20 | 29,5424 | 400 | 0,150 | 0,022 | 6,7 | 44,89 | 27,226 | 2,774 | 7,693 | 30 |
| 10 | 13 | 1,114 | 3 | 3,34183 | 9 | -0,213 | 0,046 | -10,3 | 106,09 | 14,512 | -1,512 | 2,285 | 13 |
| сумма | 219 | 13,273 | 133 | 182,832 | 2161 | 0,120 | 392,1 | 0,814 | 45,199 | 219 | |||
| ср. зн | 1,327 | 13,3 | 18,2832 | 216,1 |
Уравнение имеет вид: У=1,11+0,0161х. Перейдем к исходным переменным х и у, выполнив потенцирование уравнения:
ỹ =101,11(10 0,0161)х, ỹ =12,99*1,038х – уравнение показательной кривой.
Графики построенных уравнений регрессии приведены на рис. 4.
Рисунок 4
9. Коэффициент детерминации:
Для сравнения и выбора лучшей модели строим сводную таблицу результатов (табл. 6).
Таблица 6
| ПараметрыМодель | коэффициент детерминации | средняя относительная ошибка аппроксимации | коэффициент эластичности |
| гиперболическая | 0,672 | 7,257 | -0,250 |
| степенная | 0,862 | 0,034 | 0,239 |
| показательная | 0,829 | 3,82 | 0,010 |
Вывод: на основании полученных данных лучшей является степенная модель регрессии, т. к. она имеет наибольший коэффициент детерминации R2=0,862, т.е. вариация факторного признака У (объем выпуска продукции) на 86,2% объясняется вариацией фактора Х (объемом капиталовложений), и наименьшую относительную ошибку (в среднем расчетные значения для степенной модели отличаются от фактических данных на 0,034%). Также степенная модель имеет наибольший коэффициент эластичности, т.е. при изменении фактора на 1% зависимая переменная изменится на 0,24%, таким образом степенную модель можно взять в качестве лучшей для построения прогноза.
Задача 2а и 2б
Имеются два варианта структурной формы модели, заданные в виде матриц коэффициентов модели. Необходимо для каждой матрицы записать системы одновременных уравнений и проверить их на идентифицируемость.
Задача 2а
Решение.
Запишем систему одновременных уравнений:
у1= b12 у2+ b13 у3+ a12 х2+ a13 х3
у2= b23 у3+ a21 х1+ a22 х2+ a24 x4
у3 = b32 у2+ a31 х1+ a32х2+a33х3
Проверим каждое уравнение на выполнение необходимого и достаточного условия идентификации.
1) В первом уравнении три эндогенные переменные у1, у2, у3 (Н=3). В нем отсутствуют экзогенные переменные х1, х4 (D=2). Необходимое условие идентификации D+1=H, 2+1=3 выполнено.
Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных х1 и х4 (табл. 7)
Таблица 7
| Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных | Переменные | |
| х1 | х4 | |
| 2 | a21 | a24 |
| 3 | a31 | 0 |
Определитель матрицы не равен нулю, а ранг матрицы равен 2. Значит, достаточное условие выполнено, первое уравнение идентифицируемо.
2) Во втором уравнении две эндогенные переменные у2, у3 (Н=2). В нем отсутствует экзогенная переменная х3 (D=1). Необходимое условие идентификации D+1=H, 1+1=2 выполнено.
Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных у1 и х3 (табл. 8)
Таблица 8
| Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных | Переменные | |
| у1 | х3 | |
| 1 | -1 | a13 |
| 3 | 0 | a33 |
Определитель матрицы не равен нулю, а ранг матрицы равен 2. Значит, достаточное условие выполнено, второе уравнение идентифицируемо.