Системы массового обслуживания
1. Условия задачи:
В столе заказов универсама установлены n телефонов, по которым принимаются заказы, поступающие с интенсивностью λ заявок в минуту. Каждая телефонистка оформляет в среднем μ заявок в минуту. Данные задачи указаны в таблице:
Таблица 1
| n |  (заявка/мин) | tобс(заявка/мин) |
| 3 | 3 | 3/2 |
Для данной СМО необходимо:
а) определить тип;
б) указать все возможные состояния;
в) построить размеченный граф состояний;
г) определить основные параметры, характеризующие ее работу (вероятность отказа, относительную пропускную способность, абсолютную пропускную способность, вероятность того, что все каналы заняты, вероятность наличия очереди, среднее число заявок в СМО, среднее число занятых каналов);
д) интерпретировать полученные характеристики;
е) сделать вывод об эффективности работы СМО и рекомендации руководству предприятия по улучшению ее работы.
2. Описание математической модели задачи
Для описания математической модели:
а) определим тип СМО;
б) укажем все возможные состояния СМО;
в) построим размеченный граф состояний СМО.
Данные задачи выражены в одних единицах измерения.
а) Тип СМО: многоканальная (n=3), с отказом
б) Состояния системы:
– система свободна (все телефоны свободны), 
– 1 телефон занят, 2 телефона свободны, 
– 2 телефона занято, 1 телефон свободен, 
– все телефоны заняты.в) Размеченный граф состояний изображен на рис. 1
Рисунок 1
3 3 33/2 3 9/2
P0+P1+P2+P3=1
3. Анализ работы СМО
Основные параметры, характеризующие работу СМО:
1. Вероятность простоя системы
Данное значение говорит о том, что около 15,8% всего времени обслуживания система будет простаивать, все телефоны свободны.
2. Вероятность отказа (все каналы заняты)
Полученное значение показывает, что примерно 21% всех заявок не будут обслужены.
3. Относительная пропускная способность
Это свидетельствует о том, что почти 79% всех поступивших заявок будет обслужено
4. Абсолютная пропускная способность
Данный результат означает, что в минуту будет обслужено 2, 37 заявок.
5. Вероятность наличия очереди = 0
6. Среднее число занятых каналов
В среднем будет занято 1,58 каналов
7. Относительное число занятых каналов
8. Среднее число заявок в минуту
Итак, данная СМО многоканальная, с отказом, что исключает возникновение очереди. В связи с отсутствием очереди часть клиентов теряется, поэтому данная СМО, скорее всего, работает не достаточно эффективно. Относительная пропускная способность Q составляет около 79% (что тоже, говорит о неидеальной эффективности), обслужено будет 2,37 заявок из трех (т. к. абсолютная пропускная способность А равна 2,37). Однако среднее число занятых каналов – 1,58 (из трех возможных, т.е. почти половина каналов свободна), поэтому, я думаю, можно сократить количество каналов до двух, тем самым уменьшив персонал и сэкономив на оплате труда работников.