Свойства линейной прогрессии (стр. 1 из 3)

Министерство образования и науки Украины

Донбасская государственная машиностроительная академия

Контрольная работа

по дисциплине: «Эконометрика»

Выполнила:

студентка гр. ПВ 09-1з

Бурденюк Е.Н.

Проверила:

Гетьман И.

Краматорск 2010

1. Теоретический вопрос

Свойства линейной прогрессии

1. Прямая регрессии всегда проходит через центр рассеивания корреляционного поля, т.е. через точку (

).

2. Из выражения

следует, что угловой коэффициент b₁ выражается через коэффициент корреляции r_xy и среднее квадратичное отклонение фактора и отклика, т.е. знак b₁ совпадает со знаком коэффициента корреляции (т.к. всегда).

Если r_xy>0, то b₁>0, a острый, связь между х и у – прямая, т.е. с ростом х у возрастает.

Если r_xy<0, то b₁<0, a тупой связь между х и у обратная.

2. Задача

Найдите коэффициент эластичности для указанной модели в заданной точке x. Сделать экономический вывод.

X=2

1. Найдем производную функции

,

2. Найдем эластичность

, тогда

3. Коэффициент эластичности для точки прогноза:

X=2

Коэффициент эластичности показывает, что при изменении фактора X =2 на 1% показатель Y увеличивается на 5%.

3. Задача

Для представленных данных выполнить следующее задание:

1. Провести эконометрический анализ линейной зависимости показателя от первого фактора. Сделать прогноз для любой точки из области прогноза, построить доверительную область. Найти коэффициент эластичности в точке прогноза.

2. Провести эконометрический анализ нелинейной зависимости показателя от второго фактора, воспользовавшись подсказкой. Сделать прогноз для любой точки из области прогноза, построить доверительную область. Найти коэффициент эластичности в точке прогноза.

3. Провести эконометрический анализ линейной зависимости показателя от двух факторов. Сделать точечный прогноз для любой точки из области прогноза. Найти частичные коэффициенты эластичности в точке прогноза.

Производительность труда, фондоотдача и уровень рентабельности по плодоовощным консервным заводам области за год характеризуются следующими данными:

№ завода	Фактор		Уровень рентабельности, %
	Фондоотдача, грн	Производительность труда, грн
				1	3447	33,4	12,3
				2	3710	29,1	14,7
3	2827	25,3	10,9
4	2933	27,1	16,1
5	5428	43,3	22,3
6	5001	47,2	21,1
7	6432	49,3	24,3
8	4343	35,7	13,3
9	7321	45,8	27,6
10	6432	43,4	28,3
11	6003	42,1	25,1
12	5342	40,1	20,2
13	4341	33,3	13,7
14	5040	41,2	19,9
15	4343	39,7	14,2

Нелинейную зависимость принять

Обозначим производительность труда (грн) – Х, уровень рентабельности (%) – У. Построим линейную зависимость показателя от фактора. Найдем основные числовые характеристики. Объем выборки n=15 – суммарное количество наблюдений. Минимальное значение Х=2827, максимальное значение Х=7321, значит, производительность труда изменяется от 2827 до 7321 грн. Минимальное значение У=10.9, максимальное значение У=28.3, уровень рентабельности изменяется от 10.9 до 28.3%. Среднее значение

. Среднее значение производительности труда составляет 4790,53 грн, среднее значение уровня рентабельности составляет 19.41%. Дисперсия = 1748769,231, = 32,09. Среднеквадратическое отклонение 1322.41, значит среднее отклонение производительности труда от среднего значения, составляет 1322.41 грн., 5,66, значит среднее отклонение уровня рентабельности от среднего значения, составляет 5.66%. Определим, связаны ли Х и У между собой, и, если да, то определить формулу связи. По таблице строим корреляционное поле (диаграмму рассеивания) – нанесем точки на график. Точка с координатами =(4964; 19.41) называется центром рассеяния. По виду корреляционного поля можно предположить, что зависимость между y и x линейная. Для определения тесноты линейной связи найдем коэффициент корреляции: =0,9 Так как то линейная связь между Х и У достаточная. Пытаемся описать связь между х и у зависимостью . Параметры b_0, b₁ находим по МНК. Так как b₁>0, то зависимость между х и y прямая: с ростом производительности труда уровень рентабельности возрастает. Проверим значимость коэффициентов b_i. Значимость коэффициента b может быть проверена с помощью критерия Стьюдента:

0,024. Значимость равна 0,98091636, т.е практически 100%. Коэффициент b₀ статистически значим.

7,59. Значимость равна 6,42·10^-6, т.е 0%, что меньше, чем 5%. Коэффициент b₁ статистически значим. Получили модель зависимости уровня рентабельности от производительности труда

После того, как была построена модель, необходимо проверить ее на адекватность.

Для анализа общего качества оцененной линейной регрессии найдем коэффициент детерминации:

=0,827. Разброс данных объясняется линейной моделью на 82,7% и на 17,3% – случайными ошибками. Качество модели плохое.

Проверим с помощью критерия Фишера.

Для проверки найдем величины:

345,19 и 6. Вычисляем k₁=1, k₂=13. Находим наблюдаемое значение критерия Фишера 57,6. Значимость этого значения a=0,00006, т.е. процент ошибки равен 0%, что меньше, чем 5%. Модель считается адекватной с гарантией более 95%.

Найдем прогноз на основании линейной регрессии. Выберем произвольную точку из области прогноза

, х=3000

Рассчитываем прогнозные значения по модели для всех точек выборки и для точки прогноза:

Найдем полуширину доверительного интервала в каждой точке выборки x_пр:

s_е – средне квадратичное отклонение выборочных точек от линии регрессии

2,45

t_y = критическая точка распределения Стьюдента для надежности g=0,9 и k₂=13.

n =15.

или

x_пр – точка из области прогнозов.

Прогнозируемый доверительный интервал для любого х такой

, где d(х=5000)=5,4, т.е. доверительный интервал для х_пр=5000 составит от 14,08 до 25,01 с гарантией 90%.

Совокупность доверительных интервалов для всех х из области прогнозов образует доверительную область.

Т.е. при производительности труда 5000 грн уровень рентабельности составит от 14% до 25%.

Найдем эластичность.

Для линейной модели

Коэффициент эластичности показывает, что при изменении х=5000 на 1% показатель y увеличивается на 0,996%.

Обозначим фондоотдачу – Х, уровень рентабельности – У. Построим нелинейную зависимость показателя от фактора вида

. Найдем основные числовые характеристики. Объем выборки n=15 – суммарное количество наблюдений.