Свойства линейной прогрессии (стр. 2 из 3)
Минимальное значение Х=25.3, максимальное значение Х=49.3, значит, фондоотдача изменяется от 25.3 до 49.3грн. Минимальное значение У=10.9, максимальное значение У=28.3, уровень рентабельности изменяется от 10.9 до 28.3%. Среднее значение
. Среднее значение фондоотдачи составляет 38.4 грн, среднее значение уровня рентабельности составляет 18.93%.Дисперсия
=55.015, 
=33.16.Среднеквадратическое отклонение
7.42, значит среднее отклонение фондоотдачи от среднего значения, составляет 7.42 грн., 
5.76, значит среднее отклонение уровня рентабельности от среднего значения, составляет 5.76%.Определим, связаны ли Х и У между собой, и, если да, то определить формулу связи. По таблице строим корреляционное поле (диаграмму рассеивания) – нанесем точки
на график.Точка с координатами
=(38.4; 18.93) называется центром рассеяния.По виду корреляционного поля можно предположить, что зависимость между y и x нелинейная.
Пытаемся описать связь между х и у зависимостью
. Перейдем к линейной модели. Делаем линеаризующую подстановку: 
, 
. Получили новые данные U и V. Для этих данных строим линейную модель: 
Проверим тесноту линейной связи u и v. Найдем коэффициент корреляции:
0,782. Между u и v сильная линейная связь.Параметры b0, b1 находим по МНК.
Проверим значимость коэффициентов bi. Значимость коэффициента b может быть проверена с помощью критерия Стьюдента:
=-3,45. Значимость 
равна 0,004352681, т.е практически 0%. Коэффициент b0 статистически значим. 
4,53. Значимость равна 0,00057, т.е практически 0%. Коэффициент b1 статистически значим.Получили линейную модель
После того, как была построена модель, необходимо проверить ее на адекватность.
Для анализа общего качества оцененной линейной регрессии найдем коэффициент детерминации:
=0,62. Разброс данных объясняется линейной моделью на 62% и на 38% – случайными ошибками. Качество модели хорошее.Проверим с помощью критерия Фишера.
Для проверки находим величины:
284,224 и 
13,85. Вычисляем k1=1, k2=13. Находим наблюдаемое значение критерия Фишера 
20,53. Значимось этого значения a=0,00057, т.е. процент ошибки практически равен 0%. Модель считается адекватной с гарантией более 62%.Так как линейная модель адекватна, то и соответствующая нелинейная модель тоже адекватна.
Находим параметры исходной нелинейной модели: а=b1=-3,45; b= b0=4,53.
Вид нелинейной функции:
.Т.е. зависимость уровня рентабельности от фондоотдачи имеет вид:
.Найдем прогноз на основании модели. Выберем произвольную точку из области прогноза [25.3; 49.3], х=1
Рассчитываем прогнозные значения по модели для всех точек выборки и для точки прогноза:
Найдем полуширину доверительного интервала в каждой точке выборки. Для этого найдем полуширину для линейной модели:
sе – средне квадратичное отклонение выборочных точек от линии регрессии
3,721341 
uпр – точка из области прогнозов. Прогнозируемый доверительный интервал для любого u такой
Для нелинейной модели найдем доверительный интервал, воспользовавшись обратной заменой:
Совокупность доверительных интервалов для всех х из области прогнозов образует доверительную область.Прогноз для х=1 составит от 5,31 до 22,58 с гарантией 90%.
Т.е. при фондоотдаче 1 грн. уровень рентабельности составит от 5.31% до 22.58%.
Найдем эластичность.
,где
Коэффициент эластичности для точки прогноза:
Коэффициент эластичности для точки прогноза:
Коэффициент эластичности показывает, что при изменении фондоотдачи 1 грн. на 1% уровень рентабельности увеличивается на 1.57%.
Обозначим производительность труда – Х1 грн., фондоотдачу - Х2 грн, уровень рентабельности – У %. Построим линейную зависимость показателя от факторов. Найдем основные числовые характеристики. Объем выборки n=15 – суммарное количество наблюдений. Минимальное значение Х1=2827, максимальное значение Х1=7321, значит, производительность труда изменяется от 2827 до 7321грн. Минимальное значение Х2=25.3, максимальное значение Х2=49.3, значит, фондоотдача изменяется от 25.3 до 49.3грн. Минимальное значение У=10.9, максимальное значение У=28.3, уровень рентабельности изменяется от 10.9 до 28.3%. Среднее значение
Среднее значение производительности труда составляет 4862,87 грн, среднее значение фондоотдачи составляет 38.4 грн., среднее значение уровня рентабельности составляет 18.93%.
Дисперсия
=1777276,41, 
=55,016 
=33.16.Среднеквадратическое отклонение
1333.15, значит среднее отклонение производительности труда от среднего значения, составляет 1333.15грн., среднеквадратическое отклонение 
7.42, значит среднее отклонение фондоотдачи от среднего значения, составляет 7.42грн. 5.76, значит среднее отклонение уровня рентабельности от среднего значения, составляет 5.76%.Прежде чем строить модель, проверим факторы на коллинеарность. По исходным данным cтроим корреляционную матрицу. Коэффициент корреляции между X1 и X2 равен 0,88. Так как
, значит X1 и X2 – неколлинеарныеОпределим, связаны ли Х1, Х2 и У между собой.
Для определения тесноты линейной связи найдем коэффициент корреляции: r=0,898. Так как
то линейная связь между Х1, Х2 и У достаточная.Пытаемся описать связь между х и у зависимостью
.Параметры b0, b1,b2 находим по МНК.
.Проверим значимость коэффициентов bi.
Значимость коэффициента b может быть проверена с помощью критерия Стьюдента:
0,062. Значимость 
равна 0,951, т.е приблизительно 95%. Так как это значение намного больше 5%, то коэффициент b0 статистически не значим. 3,94. Значимость равна 0,00195, т.е 0.2%. Так как это значение меньше 5%, то коэффициент b1 статистически значим.