Необхідні умови оптимальності. Принцип максимуму Понтрягіна (стр. 3 из 3)

.(10)

Якщо

, , задовольняють системі (10) і умові 1 теореми 1, то функції і змінного є сталими. Умова 2 теореми 1, таким чином, має місце в будь-який момент часу .

4 Принцип максимуму для задачі оптимальної швидкодії

Окремим випадком критерію (5) є критерій

,(11)

який називається критерієм оптимальної швидкодії, а відповідна йому задача – задачею оптимальної швидкодії. Оскільки у формулі (11)

, то функція Понтрягіна для задачі оптимальної швидкодії матиме вигляд:

,

де

.

Оскільки перший доданок не залежить від

, то максимум функції по реалізується одночасно з максимумом функції

,

де

. Тому далі розглядатимемо нову гамільтонову систему, відкинувши перші рівняння системи (10), що відповідають :

.(12)

Позначимо

.

Можна довести, що

.

З теореми 1 відповідно до умов

і , випливає, що:

1)

;

2) вектор-функції

і не обертаються в нуль у жодній точці відрізка .

На основі теореми 1 можна сформулювати необхідні умови оптимальності в задачі швидкодії.

Теорема 2. Якщо

, – оптимальний процес, то існує ненульовий частинний розв’язок спряженої системи

, ,

такий, що:

1. при кожному значенні

функція змінної набуває при максимального значення:

;

у кінцевий момент часу

має місце співвідношення .

Як і у випадку теореми 1, перевірку умови 2 теореми 2 можна проводити в будь-який момент часу

.