Принятие управленческих решений с использованием моделей выбора оптимальных стратегий в условиях полной неопределенности (стр. 3 из 3)
6) Цена игры по критерию Гурвица Н определяется из формулы (5):
7) Оптимальная стратегия Аk по критерию Гурвица соответствует показателю эффективности
Hk=H
Критерий Гурвица является промежуточным между критерием Вальда и максимаксным критерием и превращается в критерий Вальда при l=0 и - в максимаксный критерий при l=1.
Обобщенный критерий Гурвица с коэффициентами l1,…, ln ([4], [5]).
1) Пусть А – матрица выигрышей игрока А.
2) Вероятности состояний природы неизвестны. Так что решение принимается в условиях неопределенности.
3) Матрица В получается из матрицы А перестановкой элементов каждой ее строки в неубывающем порядке:
bi1£bi2£…£bin, i=1,…,m.
Таким образом, в 1-м столбце матрицы В стоят минимальные, а в n-м столбце максимальные выигрыши стратегий. Другими словами, в 1-м столбце матрицы В стоят показатели эффективности стратегий по критерию Вальда, а в n-м столбце – показатели эффективности стратегий по максимаксному критерию.
4) Коэффициенты l1,…, ln выбираются удовлетворяющими условиям (2) соответственно различной степени склонности игрока А к оптимизму. При этом показателем пессимизма игрока А называется число
 | если n – число четное, | (23) |
| если n – число нечетное, |
где
целая часть числа 
, а показателем оптимизма игрока А называется число  | ,если n – число четное, |
| ,если n – число нечетное. |
Очевидно, что lр+l0=1.
5) Показатель эффективности стратегии Аi по обобщенному критерию Гурвица определяется по формуле (3):
6) Цену игры по обобщенному критерию Гурвица определим по формуле (4):
7) Оптимальные стратегии находятся стандартно: Аk – оптимальная стратегия, если Gk=G.
Отметим, что обобщенный критерий Гурвица учитывает все выигрыши при каждой стратегии, что необходимо для более полной картины эффективности стратегий. Отметим также, что некоторые из приведенных выше критериев являются частными случаями обобщенного критерия Гурвица.
Отметим, что если В=А, то коэффициенты lj, j=1,…,n, можно формально интерпретировать как вероятности состояний природы и в, таком случае, обобщенный критерий Гурвица совпадает с критерием Байеса.
Если lj=n-1, j=1,…,n, то обобщенный критерий Гурвица превращается в критерий Лапласа.
Если l1=1, l2=…=ln=0, то обобщенный критерий Гурвица представляет собой критерий Вальда.
При l1=…=ln-1=0, ln=1, из обобщенного критерия Гурвица получаем максимаксный критерий.
Если l1=1-l, l2=…=ln-1=0, ln=l, где lÎ[0, 1], то обобщенный критерий Гурвица является критерием Гурвица.
Если В=А и qi=p(Пj), j=1,…,n – вероятности состояний природы, удовлетворяющие условиям (1), то выбрав коэффициенты lj, j=1,…,n, следующим образом: l1=1-l+lq1, lj=lqj, j=2,…,n, где lÎ[0, 1], мы из обобщенного критерия Гурвица получим критерий Ходжа Лемана.
3. ЗАДАЧА В УСЛОВИЯХ ПОЛНОЙ НЕОПРЕДЕЛЁННОСТИ
Допустим, инвестор принимает решение о строительстве жилья определенного типа в некотором месте. Инвестор действует в условиях неопределенности (информационной непрозрачности) на рынке жилья. Чтобы сформировать представление о ситуации на рынке жилья на момент завершения строительства ему необходимо учесть цены на недвижимость, конкуренцию на рынке жилья, соотношение предложения и спроса, курсы валют и многое другое. Статистические данные свидетельствуют о том, что одной из главных составляющих стоимости жилья является место его расположения.
Рассмотрим математическую модель данной ситуации. Мы имеем игру с природой, где игрок А – инвестор, природа П – совокупность возможных ситуаций на рынке жилья на момент завершения строительства, из которых можно сформировать, например, пять состояний П1, П2, П3, П4, П5 природы. Известны приближенные вероятности этих состояний q1=p(П1)»0,30; q2=p(П2)»0,20; q3=p(П3)»0,15; q4=p(П4)»0,10; q5=p(П5)»0,25. Предположим, что игрок А располагает четырьмя (чистыми) стратегиями А1, А2, А3, А4, представляющими собой выбор определенного места для постройки жилья. Множество этих мест ограничено градостроительными решениями, стоимостью земли и т.д. Инвестиционная привлекательность проекта определяется как процент прироста дохода по отношению к сумме капитальных вложений, оценка которых известна при каждой стратегии и каждом состоянии природы. Эти данные представлены в следующей матрице выигрышей игрока А:
| А= | ПjAi | П1 | П2 | П3 | П4 | П5 | (24) |
| А1 | 2 | 7 | 3 | 15 | 6 | ||
| А2 | 4 | 6 | 11 | 3 | 5 | ||
| А3 | 6 | 4 | 9 | 10 | 5 | ||
| А4 | 3 | 8 | 7 | 9 | 5 | ||
| qj | 0,30 | 0,20 | 0,15 | 0,10 | 0,25 |
размера 4 х 5, в последней, дополнительной строке которой указаны вероятности состояний природы. Матрица (24) не содержит доминируемых (в частности, дублируемых) строк и все ее элементы положительны.
Инвестору предстоит выбрать участок земли так, чтобы наиболее эффективно использовать капиталовложения.
Подсчитаем показатели эффективности стратегий
· по критериям Байеса, Гермейера и критерию произведений при условии, что инвестор А доверяет данному распределению вероятностей состояний природы,
· по критерию Лапласа, если инвестор А не доверяет данному распределению вероятностей состояний природы и не может отдать предпочтения ни одному из рассматриваемых состояний природы,
· по критерию Ходжа- Лемана с коэффициентом доверия к вероятностям состояний природы, например, l=0,4,
· по критерию Вальда, максимаксному критерию, критерию пессимизма-оптимизма Гурвица с показателем оптимизма, например, l=0,6, и по обобщенному критерию Гурвица с коэффициентами, например, l1=0,35; l2=0,24; l3=0,19; l4=0,13; l5=0,09.
Результаты подсчета показателей эффективности и оптимальные стратегии представлены в следующей таблице:
Таблица показателей эффективности и оптимальных стратегий
| Стратегии | Критерии | ||||||||
| Байеса | Лапласа | Вальда | Ходжа-Леманаl=0,4 | Гермейгера | Произ-ведений | Макси-максный | Гурвицаl=0,4 | Обобщенный Гурвица с коэффицl1=0,35 l2=0,24 l3=0,19 l4=0,13 l5=0,09 | |
| А1 | 5,45 | 6,6 * | 2 | 3,38 | 0,45 | 0,8505 | 15 * | 7,2 * | 4,82 |
| А2 | 5,6 | 5,8 | 3 | 4,04 | 0,3 | 0,891 | 11 | 6,2 | 4,73 |
| А3 | 5,95 * | 6,6 * | 4 * | 4,78 * | 0,8 | 1,944 * | 10 | 6,4 | 5,57 * |
| А4 | 5,7 | 6,4 | 3 | 4,08 | 0,9 * | 1,701 | 9 | 5,4 | 5,43 |
| Оптимал. стратегии | А3 | А1, А3 | А3 | А3 | А4 | А3 | А1 | А1 | А3 |
Заметим, что, поскольку, в критерии Ходжа- Лемана показатель доверия игрока А распределению вероятностей состояний, указанных в последней строке матрицы (24), равен l=0,4, то показатель пессимизма игрока А равен 1-l=0,6.
В критерии Гурвица показатель оптимизма игрока А равен l=0,4 и, следовательно, показатель его пессимизма также равен 1-l=0,6.
В обобщенном критерии Гурвица по формуле (23) показатель пессимизма
= 0,35+0,24+0,5×0,19=0,685и, следовательно, показатель оптимизма l0=1-0,685=0,315.
Таким образом, во всех примененных критериях, учитывающих индивидуальные проявления игрока А к пессимизму и оптимизму, игрок А более склонен к пессимистической оценке ситуации, чем к оптимистической, примерно с одинаковыми показателями.
В результате применения девяти критериев мы видим, что в качестве оптимальной стратегии А1 выступает 3 раза, стратегия А3 – 6 раз и стратегия А4 – 1 раз. Поэтому, если у инвестора А нет никаких обоснованных серьезных возражений, то в качестве оптимальной можно рассматривать стратегию А3.