Критерии оптимальности в эколого-математических моделях (стр. 5 из 6)
. (28)
Погрешность оценки (26) равна
. (29)
Математическое ожидание погрешности и ее дисперсия:
. (30)
Таким образом, оценка (26) - несмещенная и состоятельная. Среднее квадратическое отклонение оценки (26)
.
На практике принимают
. (31)
3.5 Определение законов распределения случайной величины
Экспериментальное определение законов распределения случайных величин сводится к определению оценок вероятностей, математических ожиданий, дисперсий и средних квадратических отклонений [1-3].
Если случайная величина X - дискретная, то определяются 
, 
и оценки 
значений функции вероятности 
или оценки 
значений функции распределения 
.
Если случайная величина X- непрерывная, то определяются Мх , Dхи оценки fx(x),Fx(x) плотности вероятности fx(x) и функции распределения Fx(x).
При оценивании законов распределения непрерывной случайной величины процесс обработки экспериментальных данных - реализаций х ,...,xN,, начинается с выбора границ а и b> а интервала, заключающего возможные значения X, и деления этого интервала на kравных элементарных промежутков с = (b - a)/ k.
При расчете с значения а и b следует для удобства округлять,
принимая, например, вместо b = 3,341,а = -2,63 значения 3,4 и -2,7. Во всех случаях округление производится в сторону увеличения разности b- а. Значение kвыбирается в пределах от 8 до 20. Удобно принять k= 10.
После этого определяют границы 
всех элементарных промежутков и составляют таблицу (табл.1), в которой х'0=а,x'k=b.Значение 
- это число реализаций X,оказавшихся в пределах j-ого интервала от 
, до . Значения 
и 
:
(32)
. (33)
При группировке реализаций Xпо отдельным интервалам может оказаться что некоторые из них придутся точно на границу двух смежных промежутков. В этих случаях необходимо прибавить к числам и 
смежных интервалов по 1/2.
Таблица 1
… 
… 
… 
… 
По данным таблицы могут быть построены эмпирические гистограмма и график функции распределения.
Затем возникает весьма сложная задача подбора аналитического закона распределения, достаточно хорошо согласующегося с результатами эксперимента.
Основанием для выбора аналитического выражения плотности вероятности fx(x) могут служить соображения о том, чтобы простейшие числовые характеристики теоретической случайной величины были равны экспериментальным значениям этих характеристик. Если, например, теоретический закон определяется двумя параметрами, то их выбирают так, чтобы совпали два момента ( 
).
3.6 Критерий интервальных оценок
Располагая результатами эксперимента согласно (31) рассчитывают средние квадратические отклонения:
;
. (34)
Согласно (8) рассчитываются доверительные интервалы
и границы изменения ВВХ
, (35)
соответствующие доверительной вероятности 
и 
.
Располагая выбранным аналитическим выражением плотности вероятности fx(x), рассчитываются теоретические значения:
(36)
Критерием согласия теоретического и экспериментального распределения является соблюдение неравенств:
(37)
Критерий 
Рассчитав 
согласно (35), находят значения
(38)
и рассчитывают
. (39)
Если расхождение между экспериментальным и теоретическим распределением несущественно, то распределение случайной величины (39) близко к нормальному с математическим ожиданием 
и
средним квадратическим отклонением 
, где s - так называемое число степеней свободы и согласно (8) с доверительной вероятностью рд = 0,997 справедливо неравенство
. (40)
Число степеней свободы s = k - и - это разность между числом интервалов k, выбираемых произвольно, и числом условий и, которым должно удовлетворять эмпирическое распределение случайной величины. Этих условий обычно три: сумма всех равна единице, математическое ожидание равно 
дисперсия равна 
3.7 Сравнение математических ожиданий и дисперсий
Особой задачей, возникающей при экспериментальном исследовании случайных величин, является сравнение экспериментальных математических ожиданий 
и дисперсий 
, полученных в результате N1, и N2независимых измерений случайных величин X1и X2.