Критерии оптимальности в эколого-математических моделях (стр. 3 из 6)
Вероятностной характеристикой 
случайной величины 
,определяемой непосредственно путем эксперимента, является некоторое число - математическое ожидание, дисперсия, вероятность события 
. Символ означает истинное значение характеристики. Путем обработки результатов экспериментального исследования X получают экспериментальное значение характеристики, статистическую характеристику или оценку 
характеристики .
Экспериментальное исследование случайной величины Xс целью определения - оценки (приближенного значения) , заключается в проведении N опытов (испытаний, наблюдений) и получении (путем соответствующих измерений) ряда значений 
—реализаций X. В результате обработки экспериментальных данных определяется 
как функция эксперимента.
Если провести еще одну серию из N опытов, то будет получен ряд других реализаций 
случайной величины Xи другое значение 
оценки искомой характеристики . Значение 
случайной величины X,полученное в результате 
- ого опыта в серии, можно рассматривать как значение случайной величины 
а оценку - как реализацию более общей случайной величины
, (1)
являющейся функцией независимых случайных величин 
,все вероятностные характеристики которых совпадают с характеристиками X.
Вероятностными характеристиками системы двух случайных величин (X,Y),определяемыми непосредственно на основании эксперимента, являются математические ожидания, дисперсии, корреляционный момент, вероятность события 
. Эксперимент заключается в проведении N опытов и получении ряда значений 
реализаций случайных величин X,Y.В результате обработки экспериментальных данных получается оценка
,
как реализация случайной функции
, (2)
аналогичной (1).
Погрешность приближения оценки 
равная
, (3)
является, как и 
, случайной величиной.
Функцию 
желательно выбирать так, чтобы выполнялось три условия
1. Математическое ожидание 
равно нулю:
(4)
2. Дисперсия стремится к нулю с увеличением N
(5)
3 Дисперсия 
при данной должна быть наименьшей.
При выполнении условия (4) оценка называется несмещенной, условий (4), (5) - состоятельной, всех трех условий - эффективной.
Вследствие случайного характера погрешности (3) для характеристики точности приближенного равенства 
необходимо располагать вероятностью рдтого, что абсолютное значение погрешности не превзойдет некоторого предела
(6)
Интервал от 
до 
,в котором с вероятностью рднаходится истинное значение , называется доверительным интервалом, его границы - доверительными границами, авероятность рд- доверительной вероятностью.
Если число экспериментальных данных N достаточно велико, то
погрешность (3) состоятельной оценки можно практически считать
распределенной нормально с математическим ожиданием (4), дисперсией 
и средним квадратическим отклонением 
При этом выражение (6) имеет вид:
(7)
где 
- функция Лапласа, 
.
С помощью этой формулы решается задача определения доверительной вероятности рдпо известным данным 
.
Функция Лапласа 
выражает зависимость 
от 
.Обратная 
выражает зависимость от . При 
, 
имеем
(8)
С помощью формулы (8) и обратной функции Лапласа решается задача определения доверительного интервала 
по известным рди 
и необходимого числа испытаний по известным рди .
При решении первой задачи согласно (8) определяется .При решении второй задачи согласно (8) определяется 
, а затем N.
Для проведения тестирования СП обычно приводят к стандартному виду. Для случая двоичной ноль - единичной последовательности это достигается перекодировкой исходной последовательности в симметричную -1,1- ю последовательность в соответствии с правилом
.
Здесь 
- элементы стандартной и исходной последовательностей соответственно.
3.2Определение математического ожидания
Оценка математического ожидания 
как экспериментальное (выборочное) значение первого начального момента случайной величины X равна
,
В тоже время оценка среднего всей генеральной совокупности значений случайной величины определяется из выражения