Корреляционный и регрессионный анализ (стр. 1 из 2)

Содержание

1. Исходные данные. 2

2. Решение задачи 1. 3

3.Решение задачи 2. 7

Вывод: 11

Список использованных источников. 12

1. Исходные данные

Задание 1

1. Построить линейное уравнение парной регрессии;

2. Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации;

3. Оценить статистическую зависимость параметров регрессии и корреляции (с помощью F-критерия Фишера и Т-статистики Стьюдента).

Задание 2

1. Построить уравнение парной регрессии в виде нелинейной функции: степенной у = ах^b, экспоненты у = ае^bх, показательной у = ab^x, любой на выбор;

2. Для оценки параметров модель линеаризируется путем логарифмирования или потенцирования;

3. Определяется коэффициент эластичности и индекс корреляции;

4. Значимость определяется по критерию Фишера.

Исходные данные для решения задач приведены в таблице 1.

Таблица 1 - Исходные данные

N	X	Y
1	23	110
2	45	125
3	34	111
4	51	121
5	28	109
6	62	127
7	71	143
8	63	121
9	70	154
10	45	108
11	51	136
12	27	109
13	62	125
14	57	110
15	63	120
16	69	134
17	74	131
18	35	105
19	21	74
20	60	120

2. Решение задачи 1

Определим линейное уравнение парной регрессии.

Для этого составим и решим следующую систему уравнений:

;

.

;

.

Решая данную систему уравнений получаем:

а=81,232;

b=0,76.

Итого получаем:

Рассчитаем линейные коэффициенты парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации

Расчет будем вести табличным способом, и представим в таблице 2.

Таблица 2 - Расчет линейных коэффициентов парной корреляции и средняя ошибка аппроксимации

N	X	Y	X∙Y	X2	Y2		Y-
1	23	110	2530	529	12100	98,71	11,29	127,42	10,26
2	45	125	5625	2025	15625	115,43	9,57	91,55	7,65
3	34	111	3774	1156	12321	107,07	3,93	15,43	3,54
4	51	121	6171	2601	14641	119,99	1,01	1,02	0,83
5	28	109	3052	784	11881	102,51	6,49	42,09	5,95
6	62	127	7874	3844	16129	128,35	-1,35	1,83	1,06
7	71	143	10153	5041	20449	135,19	7,81	60,96	5,46
8	63	121	7623	3969	14641	129,11	-8,11	65,80	6,70
9	70	154	10780	4900	23716	134,43	19,57	382,91	12,71
10	45	108	4860	2025	11664	115,43	-7,43	55,23	6,88
11	51	136	6936	2601	18496	119,99	16,01	256,26	11,77
13	27	109	2943	729	11881	101,75	7,25	52,53	6,65
13	62	125	7750	3844	15625	128,35	-3,35	11,24	2,68
14	57	110	6270	3249	12100	124,55	-14,55	211,76	13,23
15	63	120	7560	3969	14400	129,11	-9,11	83,03	7,59
16	69	134	9246	4761	17956	133,67	0,33	0,11	0,24
17	74	131	9694	5476	17161	137,47	-6,47	41,89	4,94
18	35	105	3675	1225	11025	107,83	-2,83	8,02	2,70
19	21	74	1554	441	5476	97,19	-23,19	537,87	31,34
20	60	120	7200	3600	14400	126,83	-6,83	46,68	5,69
∑	1011	2393	125270	56769	291687	2393	0	2093,62	147,90
Ср.	50,55	119,65	6263,5	2838,45	14584,35	119,65	0	104,68	7,39

На рисунке 1 представим поле корреляции.

Рисунок 1 - Поле корреляции

Оценим статистическую зависимость параметров регрессии и корреляции (с помощью F-критерия Фишера и Т-статистики Стьюдента).

Определение коэффициента корреляции

Для определения коэффициента корреляции, определим дисперсию:

;

.

Определим коэффициент корреляции:

.

Данный коэффициент корреляции характеризует высокую тесноту связи

Определим коэффициент детерминации:

Это значит, что 61% вариации "у" объясняется вариацией фактор "х".

Определение статистической значимости уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера

Определим F- критерий Фишера:

.

Табличное значение критерия при пятипроцентном уровне значимости и степенях свободы 1 и (20-2)=18 составляет F_таб = 4,45.

Имеем F> F_таб, следовательно уравнение регрессии признается статистическим значимым.

Оценка статистической значимости параметров регрессии с помощью t-статистики Стьюдента

Табличное значение t-критерия для числа степеней свободы df=n-2=20-2=18 и уровня значимости α=0,05 составит t_табл=1,743.

Определим стандартные ошибки:

;

;

.

Тогда

;

;

.

Фактические значения t-статистики превосходят табличное значение:

, поэтому параметры а, b, и r_xy не случайно отличаются от нуля, а статистически значимы.

Рассчитаем доверительные интервалы для параметров регрессии а и b. Для этого определим предельную ошибку для каждого показателя:

;

.

Получаем доверительные интервалы:

и ;

и .

Анализ верхней и нижней границ доверительных интервалов приводит к выводу о том, что с вероятностью р=1-α=1-0,05=0,95 параметры а и b, находятся в указанных границах, не принимают нулевых значений, т.е. являются статистически значимыми и существенно отличны от нуля.

3. Решение задачи 2

В качестве уравнения нелинейной функции примем показательную, т.е.

у = a∙b^x.

Определим экспоненциальное уравнение парной регрессии

Для определения параметров а и b прологарифмируем данное уравнение:

ln(у) =ln(а)+ x∙ln(b),

Произведем следующую замену: А= ln(а), B= ln(b).

Составим и решим систему уравнений:

;

.

;

.

Решая данную систему уравнений получаем:

А=4,436 следовательно a=84,452;

B= 0,0067 следовательно b=1,0067.

Итого получаем

.

Рассчитаем линейные коэффициенты парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации

Расчет будем вести табличным способом, и представим в таблице 3.

Таблица 3 - Расчет линейных коэффициентов парной корреляции и средняя ошибка аппроксимации

N	X	Y	X∙Y	X2	Y2		Y-
1	23	110	2530	529,00	12100	98,47	11,53	132,90	201,64	10,48
2	45	125	5625	2025,00	15625	114,05	10,95	119,80	0,64	8,76
3	34	111	3774	1156,00	12321	105,98	5,02	25,23	174,24	4,53
4	51	121	6171	2601,00	14641	118,72	2,28	5,21	10,24	1,89
5	28	109	3052	784,00	11881	101,82	7,18	51,62	231,04	6,59
6	62	127	7874	3844,00	16129	127,77	-0,77	0,59	7,84	0,60
7	71	143	10153	5041,00	20449	135,68	7,32	53,59	353,44	5,12
8	63	121	7623	3969,00	14641	128,62	-7,62	58,09	10,24	6,30
9	70	154	10780	4900,00	23716	134,78	19,22	369,54	888,04	12,48
10	45	108	4860	2025,00	11664	114,05	-6,05	36,66	262,44	5,61
11	51	136	6936	2601,00	18496	118,72	17,28	298,70	139,24	12,71
12	27	109	2943	729,00	11881	101,14	7,86	61,82	231,04	7,21
13	62	125	7750	3844,00	15625	127,77	-2,77	7,65	0,64	2,21
14	57	110	6270	3249,00	12100	123,57	-13,57	184,15	201,64	12,34
15	63	120	7560	3969,00	14400	128,62	-8,62	74,33	17,64	7,18
16	69	134	9246	4761,00	17956	133,88	0,12	0,01	96,04	0,09
17	74	131	9694	5476,00	17161	138,43	-7,43	55,13	46,24	5,67
18	35	105	3675	1225,00	11025	106,69	-1,69	2,85	368,64	1,61
19	21	74	1554	441,00	5476	97,17	-23,17	536,63	2520,04	31,30
20	60	120	7200	3600,00	14400	126,07	-6,07	36,85	17,64	5,06
∑	1011	2393	125270	56769,00	291687	2381,97	11,03	2111,36	5778,60	147,73
Ср.	50,55	119,65	6263,50	2838,45	14584,35	119,10	0,55	105,57	288,93	7,39

На рисунке 3 представим поле корреляции.