Экономическая постановка задачи
На лакокрасочном предприятии производится два вида эмалей (Эм1 и Эм2), два вида лаков (Л1 и Л2) и смола (См1). При изготовлении каждой эмали может использован, либо лак Л1, либо лак Л2. Для изготовления эмалей и лаков используются два вила растворителей (Р1 и Р2) и смола См1. Нормы расходов одних продуктов при производстве других приведены в таблице 1. По каждому виду сырья известна величина ресурса - запас сырья на складе предприятия и объем заключенных на год договоров с поставщиками сырья.
Для изготовления эмалей и лаков используется четыре реактора (Рк1, Рк2, Рк3, Рк4). Известен годовой фонд рабочего времени по каждому виду оборудования. Реакторы 1 и 2 взаимозаменяемы. Нормы времени на производство продукции приведены в таблице 2.
В обеих таблицах значения в скобках соответствуют возможным вариантам производства продукции. Например, в таблице 1 эмаль Эм1 может производиться либо на лаке Л1 с нормой расхода 0,8 т/т либо на лаке Л2 с нормой 0.7 т/т.
Товарной продукцией предприятия являются эмали Эм1 и Эм2 и лак Л1.
По каждому виду товарной продукции определен объем заказа - поставка продукции по заключенным с потребителями договорам и госзаказ на ее производство.
Известен общий проточный спрос рынка па товарную продукцию предприятия, а также прогнозные цены по каждому виду продукции.
Технико-экономические показатели производства продукции по вариантам заданий приведены в таблице 3.
Необходимо рассчитать оптимальный план производства, максимизирующий прибыль от реализации товарной продукции предприятия, при выполнении всех заданных условий производства. Предложить обоснованное первоначальное оптимальное решение задачи.
Исходные данные для расчета
Таблица 1 - Нормы расхода сырья и полуфабрикатов
| Сырье, полуфабрикат | Нормы расхода, т/т | ||||
| ПРОДУКЦИЯ | |||||
| Эм1 | Эм2 | Л1 | Л2 | См1 | |
| Л1 | 0,8 | 0,7 | |||
| Л2 | 0,7 | 0,6 | |||
| См1 | 0,8 | 0,7 | |||
| Р1 | 0,2 | 0,3 | 0,2 | ||
| Р2 | 0,3 | 0,4 | 0,1 | ||
Таблица 2 - Блок производственных мощностей
| Оборудование | Норма времени на производство продукции, час/т | ||||
| Эм1 | Эм2 | Л1 | Л2 | См1 | |
| Рк1 | 1,0 | 0,3 | |||
| Рк2 | 0,2 | 0,5 | |||
| Рк3 | 0,3 | 0,2 | |||
| Рк4 | 0,6 | ||||
| Таблица 3 - Технико-экономические показатели | |
| Наименование продукции, оборудования | Вариант 10 |
| ОБЪЕМ ГОСЗАКАЗА И ЗАКЛЮЧЕННЫХ ДОГОВОРОВ НА ПОСТАВКУ, тонн | |
| Эмаль 1 | 55000 |
| Эмаль 2 | 92000 |
| Лак 1 | 2500 |
| ПОТРЕБНОСТЬ РЫНКА В ПРОДУКЦИИ ПРЕДПРИЯТИЯ, тонн | |
| Эмаль 1 | 60000 |
| Эмаль 2 | 98000 |
| Лак 1 | 3000 |
| ПРОГНОЗНЫЕ ОПТОВЫЕ ЦЕНЫ, грн/т | |
| Эмаль 1 | 5100 |
| Эмаль 2 | 5600 |
| Лак 1 | 3550 |
| СЕБЕСТОИМОСТЬ ПРОДУКЦИИ, грн/т | |
| Эмаль1 на лаке1 | 4630 |
| Эмаль1 на лаке2 | 4635 |
| Эмаль2 на лаке1 | 5000 |
| Эмаль2 на лаке2 | 5090 |
| Лак 1 | 3070 |
| Лак 2 | 2800 |
| Смола 1 | 2490 |
| РЕСУРС СЫРЬЯ, тонн | |
| Смола 1 | 12000 |
| Растворитель1 | 27000 |
| Растворитель2 | 85000 |
| ГОДОВЫЕ ФОНДЫ ВРЕМЕНИ ОБОРУДОВАНИЯ, час | |
| Реактор 1 | 36000 |
| Реактор 2 | 16000 |
| Реактор 3 | 24000 |
| Реактор 4 | 40000 |
Технико-экономические показатели производства продукции и потребления материальных ресурсов приведены в таблице П1. Производительность реакторов и их годовые фонды времени приведены в таблице П2.
Таблица П1. Технико-экономические показатели
| Продукт | Заказ | Спрос | Запас | Цена | Себестоимость, грн/т | |
| т | т | т | грн/т | На лаке 1 | На лаке 2 | |
| Эм1 | 55000 | 60000 | 5100 | 4630 | 4635 | |
| Эм2 | 92000 | 98000 | 5600 | 5000 | 5090 | |
| Л1 | 2500 | 3000 | 3550 | 3070 | ||
| Л2 | - | - | - | 2800 | ||
| См1 | - | - | 12000 | - | 2490 | |
| Р1 | - | - | 27000 | - | ||
| Р2 | - | - | 85000 | - | ||
Таблица П2. Годовой фонд времени оборудования, час
| Рк1 | Рк2 | Рк3 | Рк4 |
| 36000 | 16000 | 24000 | 40000 |
Изготовление эмалей производится на основе взаимозаменяемых лаков (Л1 и Л2) и на взаимозаменяемых реакторах (Рк1 и Рк2). Следовательно, каждая эмаль может быть изготовлена четырьмя технологическими способами:
| Эм1: | 1 способ – Рк1 и Л1 | 2 способ – Рк1 и Л2 |
| 3 способ – Рк2 и Л1 | 4 способ – Рк2 и Л2 | |
| Эм2: | 1 способ – Рк1 и Л1 | 2 способ – Рк1 и Л2 |
| 3 способ – Рк2 и Л1 | 4 способ – Рк2 и Л2 |
Обозначим объемы производства эмали Эм1 этими технологическими способами следующим образом: Х11, Х12, Х13, Х14.
Аналогично, объемы производства эмали Эм2: Х21, Х22, Х23, Х24.
Введем обозначение объемов производства полуфабрикатов: Лак Л1 – Х3, Лак Л2 – Х4, Смола См1 – Х5.
Подставим исходные данные в экономико-математическую модель задачи:
Блок производства конечной продукции
| 1*Х11 + 1*Х12 + 1*Х13 + 1*Х14 >= 55000 | |||||
| 1*Х11 + 1*Х12 + 1*Х13 + 1*Х14 <= 60000 | |||||
| 1*Х21 + 1*Х22 + 1*Х23 + 1*Х24 >= 92000 | |||||
| 1*Х21 + 1*Х22 + 1*Х23 + 1*Х24 <= 98000 | |||||
| БЛОК ПРОИЗВОДСТВА ПОЛУФАБРИКАТОВ | |||||
| 1*Х3 - 0,8*Х11 - 0,8*Х13 - 0,7*Х21 - 0,7*Х23 >= 2500 | |||||
| 1*Х3 - 0,8*Х11 - 0,8*Х13 - 0,7*Х21 - 0,7*Х23 <= 3000 | |||||
| 1*X4 - 0,7*X13 - 0,7*X14 - 0,6*X23 - 0,6*X24 = 0 | |||||
| 0,8*X3 + 0,7*X4 - 1*X5 <=12000 | |||||
| БЛОК ИСПОЛЬЗОВАНИЯ СЫРЬЯ | |||||
| 0,2*Х11 + 0,2*Х12 + 0,2*Х13 + 0,2*Х14 + 0,3*Х3 + 0,2*Х5 <= 27000 | |||||
| 0,3*X21 + 0,3*X22 + 0,3*X23 + 0,3*X24 + 0,4*X4 + 0,1*X5 <= 85000 | |||||
| БЛОК ЗАГРУЗКИ ОБОРУДОВАНИЯ | |||||
| 1*Х11 + 1*Х12 + 0,3*Х21 + 0,3*Х22 <= 36000 | |||||
| 0,2*X13 + 0,2*X14 + 0,5*X23 + 0,5*X24 <= 16000 | |||||
| 0,3*X3 + 0,2*X4 <= 24000 | |||||
| 0,6*X5 <= 40000 | |||||
| ЦЕЛЕВАЯ ФУНКЦИЯ | |||||
| 470*Х11 + 465*Х12 + 470*Х13 + 465*Х14 + 600*Х21 + 510*Х22 + 600*Х23 + 510*Х24 + 480*(Х3 - 0,8*Х11 - 0,8*Х13 - 0,7*Х21 - 0,7*Х23) → max | |||||
| После раскрытия скобок и приведения подобных получаем: | |||||
| 86*X11 + 465*X12 + 86*X13 + 465*X14 + 264*X21 + 510*X22 + 264*X23 + 510*X24 + 480X3 → max | |||||
Коэффициенты при искомых неизвестных переносим в таблицу П3 – технологическую матрицу задачи
Таблица П3 – технологическая матрица
| Х11 | Х12 | Х13 | Х14 | Х21 | Х22 | Х23 | Х24 | Х3 | Х4 | Х5 | ОГРАНИЧЕНИЯ | |
| ЭМ1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 55000 | 60000 | ||||||
| ЭМ2 | 1 | 1 | 1 | 1 | 92000 | 98000 | ||||||
| Л1 | -0,8 | -0,8 | -0,7 | -0,7 | 1 | 2500 | 3000 | |||||
| Л2 | -0,7 | -0,7 | -0,6 | -0,6 | 1 | 0 | ||||||
| СМ1 | 0,8 | 0,7 | -1 | 12000 | ||||||||
| Р1 | 0,2 | 0,2 | 0,2 | 0,2 | 0,3 | 0,2 | 27000 | |||||
| Р2 | 0,3 | 0,3 | 0,3 | 0,3 | 0,4 | 0,1 | 85000 | |||||
| Рк1 | 1 | 1 | 0,3 | 0,3 | 36000 | |||||||
| Рк2 | 0,2 | 0,2 | 0,5 | 0,5 | 16000 | |||||||
| Рк3 | 0,3 | 0,2 | 24000 | |||||||||
| Рк4 | 0,6 | 40000 | ||||||||||
| ЦФ | 86 | 465 | 86 | 465 | 264 | 510 | 264 | 510 | 480 | 0 | 0 | |
| 0 | 0 | 0 | 60000 | 8017 | 81983 | 0 | 8000 | 8612 | 95990 | 62082 | ||
| ЭМ1 | 0 | 0 | 0 | 60000 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 60000 |
| ЭМ2 | 0 | 0 | 0 | 0 | 8016,807 | 81983,19 | 0 | 8000 | 0 | 0 | 0 | 98000 |
| Л1 | 0 | 0 | 0 | 0 | -5611,76 | 0 | 0 | 0 | 8611,765 | 0 | 0 | 3000 |
| Л2 | 0 | 0 | 0 | -42000 | 0 | -49189,9 | 0 | -4800 | 0 | 95989,92 | 0 | 0 |
| СМ1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 6889,412 | 67192,94 | -62082,4 | 12000 |
| Р1 | 0 | 0 | 0 | 12000 | 0 | 0 | 0 | 0 | 2583,529 | 0 | 12416,47 | 27000 |
| Р2 | 0 | 0 | 0 | 0 | 2405,042 | 24594,96 | 0 | 2400 | 0 | 38395,97 | 6208,235 | 74004 |
| Рк1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 2405,042 | 24594,96 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 27000 |
| Рк2 | 0 | 0 | 0 | 12000 | 0 | 0 | 0 | 4000 | 0 | 0 | 0 | 16000 |
| Рк3 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 2583,529 | 19197,98 | 0 | 21782 |
| Рк4 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 37249,41 | 37249 |
| ЦФ | 0 | 0 | 0 | 27900000 | 2116437 | 41811429 | 0 | 4080000 | 4133647 | 0 | 0 | 80041513 |
Таблица – Отчет по результатам решения задачи
| Microsoft Excel 11.0 Отчет по результатам | |||||
| Рабочий лист: [мат моделирование.xls]П3 (2) | |||||
| Отчет создан: 24.06.2007 16:48:48 | |||||
| Целевая ячейка (Максимум) | |||||
| Ячейка | Имя | Исходное значение | Результат | ||
| $M$26 | ЦФ ОГРАНИЧЕНИЯ | 0 | 80041513 | ||
| Изменяемые ячейки | |||||
| Ячейка | Имя | Исходное значение | Результат | ||
| $B$14 | Х11 | 0 | 0 | ||
| $C$14 | Х12 | 0 | 0 | ||
| $D$14 | Х13 | 0 | 0 | ||
| $E$14 | Х14 | 0 | 60000 | ||
| $F$14 | Х21 | 0 | 8016,806723 | ||
| $G$14 | Х22 | 0 | 81983,19328 | ||
| $H$14 | Х23 | 0 | 0 | ||
| $I$14 | Х24 | 0 | 8000 | ||
| $J$14 | Х3 | 0 | 8611,764706 | ||
| $K$14 | Х4 | 0 | 95989,91597 | ||
| $L$14 | Х5 | 0 | 62082,35294 | ||
| Ограничения | |||||
| Ячейка | Имя | Значение | Формула | Статус | Разница |
| $M$18 | Л2 ОГРАНИЧЕНИЯ | 0 | $M$18=$M$5 | не связан. | 0 |
| $M$15 | ЭМ1 ОГРАНИЧЕНИЯ | 60000 | $M$15<=$N$2 | связанное | 0 |
| $M$16 | ЭМ2 ОГРАНИЧЕНИЯ | 98000 | $M$16<=$N$3 | связанное | 0 |
| $M$17 | Л1 ОГРАНИЧЕНИЯ | 3000 | $M$17<=$N$4 | связанное | 0 |
| $M$15 | ЭМ1 ОГРАНИЧЕНИЯ | 60000 | $M$15>=$M$2 | не связан. | 5000 |
| $M$16 | ЭМ2 ОГРАНИЧЕНИЯ | 98000 | $M$16>=$M$3 | не связан. | 6000 |
| $M$17 | Л1 ОГРАНИЧЕНИЯ | 3000 | $M$17>=$M$4 | не связан. | 500 |
| $M$19 | СМ1 ОГРАНИЧЕНИЯ | 12000 | $M$19<=$M$6 | связанное | 0 |
| $M$20 | Р1 ОГРАНИЧЕНИЯ | 27000 | $M$20<=$M$7 | связанное | 0 |
| $M$21 | Р2 ОГРАНИЧЕНИЯ | 74004 | $M$21<=$M$8 | не связан. | 10995,79832 |
| $M$22 | Рк1 ОГРАНИЧЕНИЯ | 27000 | $M$22<=$M$9 | не связан. | 9000 |
| $M$23 | Рк2 ОГРАНИЧЕНИЯ | 16000 | $M$23<=$M$10 | связанное | 0 |
| $M$24 | Рк3 ОГРАНИЧЕНИЯ | 21782 | $M$24<=$M$11 | не связан. | 2218,487395 |
| $M$25 | Рк4 ОГРАНИЧЕНИЯ | 37249 | $M$25<=$M$12 | не связан. | 2750,588235 |
Таблица – Отчет по устойчивости решения задачи