Экономико–математические методы в управлении (стр. 1 из 2)
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИМЕНИ ИММАНУИЛА КАНТА
кафедра экономики |
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по дисциплине «Экономико – математические методы в управлении»
вариант №30
КАЛИНИНГРАД
2008
Задание
Задание 1.2.
Смесь можно составить из n продуктов Сj (j=1,n). В каждом из продуктов содержится m компонентов. Минимально допустимый объем содержания i-го компонента в смеси выражается величиной bi (i=1,3). Содержание i-го компонента в единице j-го продукта выражается величиной аij. Цена единицы j-го продукта равна сj. Составить смесь, минимальную по стоимости, выбрав для решения данной задачи наиболее рациональный способ.
| C1 | C2 | C3 | bi | |
| cj | 9 | 6 | 7 | |
| a1j | 7 | 5 | 8 | 70 |
| a2j | 8 | 2 | 3 | 40 |
| a3j | 9 | 6 | 7 | 50 |
Задание 2.2.
Найти графоаналитическим методом оптимальное решение задачи нелинейного программирования.
maxZ = 3.6x1 – 0.2x12 + 0.8x2 – 0.2x222x1 + x2 ≥ 10
x12 -10x1 + x2 ≤ 75
x2 ≥ 0
Задание 3.1.
После нескольких лет эксплуатации оборудование может оказаться в одном из трех состояний:
1) требуется профилактический ремонт;
2) требуется замена отдельных деталей и узлов;
3) требуется капитальный ремонт.
В зависимости от ситуации руководство предприятия может принять следующие решения:
1) отремонтировать оборудование своими силами, что потребует затрат а;
2) вызвать специальную бригаду ремонтников, расходы в этом случае составят b;
3) заменить оборудование новым, реализовав устаревшее по остаточной стоимости.. Совокупные затраты на это мероприятие составят с.
Требуется найти оптимально решение данной проблемы по критерию минимизации затрат с учетом следующих предположений:
а) на основе обобщения опыта эксплуатации аналогичного оборудования определены вероятности наступления соответствующих состояний – q;
б) имеющийся опыт свидетельствует о равной вероятности наступления соответствующих состояний;
в) о вероятностях наступления соответствующих состояний ничего определенного сказать нельзя.
| П1 | П2 | П3 | |
| a | 13 | 9 | 15 |
| b | 20 | 12 | 11 |
| c | 18 | 10 | 14 |
| q | 0.3 | 0.45 | 0.25 |
λ = 0.7
Задание 1.2.
Смесь можно составить из n продуктов Сj (j=1,n). В каждом из продуктов содержится m компонентов. Минимально допустимый объем содержания i-го компонента в смеси выражается величиной bi (i=1,3). Содержание i-го компонента в единице j-го продукта выражается величиной аij. Цена единицы j-го продукта равна сj. Составить смесь, минимальную по стоимости, выбрав для решения данной задачи наиболее рациональный способ.
| C1 | C2 | C3 | bi | |
| cj | 9 | 6 | 7 | |
| a1j | 7 | 5 | 8 | 70 |
| a2j | 8 | 2 | 3 | 40 |
| a3j | 9 | 6 | 7 | 50 |
Смесь, минимальная по стоимости:7x1 + 5x2 + 8x3 ≥ 70
8x1 + 2x2 + 3x3 ≥ 40
9x1 + 6x2 + 7x3 ≥ 50
x1 ≥ 0; x2 ≥ 0; x3 ≥ 0
F = 9x1 + 6x2 + 7x3 → min
После транспонирования матрицы элементов aij, cсимметричная двойственная задача будет иметь вид:
S(y1,y2,y3) = 70y1 + 40y2 + 50y3 → max , при ограничениях:
7y1 + 8y2 + 9y3 ≥ 95y1 + 2y2 + 6y3 ≥ 6
8y1 + 3y2 + 7y3 ≥ 7
y1 ≥ 0; y2 ≥ 0; y3 ≥ 0
Для решения двойственной задачи линейного программирования симплекс – методом, приведём систему неравенств к виду системы уравнений:
7y1 + 8y2 + 9y3 + y4 ≥ 95y1 + 2y2 + 6y3 + y5 ≥ 6
8y1 + 3y2 + 7y3 + y6 ≥ 7
y1≥0;y2≥0;y3≥0;y1≥0;y2≥0;y3≥0
S(y1,y2,y3) = 70y1 + 40y2 + 50y3 → max
По правилу соответствия переменных, базисным переменным прямой задачи соответствуют свободные переменные двойственной задачи:
x1 x2 x3 x4 x5 x6y1 y2 y3 y4 y5 y6
Первая симплексная таблица:
| Базис | Сб | А0 | y1 70 | y2 40 | y3 50 | y4 0 | y5 0 | y6 0 |
| y4 | 0 | 9 | 7 | 8 | 9 | 1 | 0 | 0 |
| y5 | 0 | 6 | 5 | 2 | 6 | 0 | 1 | 0 |
| y6 | 0 | 7 | 8 | 3 | 7 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | -70 | -40 | -50 | 0 | 0 | 0 |
Вторая симплексная таблица:
| Базис | Сб | А0 | y1 70 | y2 40 | y3 50 | y4 0 | y5 0 | y6 0 |
| y4 | 0 | 23/8 | 0 | 43/8 | 23/8 | 1 | 0 | -7/8 |
| y5 | 0 | 13/8 | 0 | 1/8 | 13/8 | 0 | 1 | -5/8 |
| y1 | 70 | 7/8 | 1 | 3/8 | 7/8 | 0 | 0 | 1/8 |
| 245/4 | 0 | -55/4 | 45/4 | 0 | 0 | 35/4 |
Третья симплексная таблица:
| Базис | Сб | А0 | y1 70 | y2 40 | y3 50 | y4 0 | y5 0 | y6 0 |
| Y2 | 40 | 23/43 | 0 | 1 | 23/43 | 8/43 | 0 | -7/43 |
| y5 | 0 | 67/43 | 0 | 0 | 67/43 | -1/43 | 1 | -26/43 |
| y1 | 70 | 29/43 | 1 | 0 | 29/43 | -3/43 | 0 | 8/43 |
| 2950/43 | 0 | 0 | 800/43 | 110/43 | 0 | 280/43 |
В последней таблице в строке Δ нет отрицательных элементов. В соответствии с критерием оптимальности точка максимума Smax = 2950/43 достигнута при значениях: y1 = 29/43; y2 = 23/43; y3 = 0.
По теореме двойственности: Fmin = Smax = 2950/43.
На основании правила соответствия между переменными, оптимальное решение прямой задачи:
y4 x1 = 110/43 y5 x2 = 0 y6 x3 = 280/43Ответ: В смесь минимальной стоимости 2950/43 целесообразно включить 110/43 единиц продукта C1, 280/43 единиц продукта C3, а продукт C2 не включать.
Задание 2.2.
Найти графоаналитическим методом оптимальное решение задачи нелинейного программирования.
maxZ = 3.6x1 – 0.2x12 + 0.8x2 – 0.2x22
2x1 + x2 ≥ 10x12 -10x1 + x2 ≤ 75
x2 ≥ 0
В данной задаче имеется нелинейная целевая функция с нелинейной системой ограничений. Графическая схема позволит определить положение точки оптимума.
Сначала необходимо преобразовать формулу целевой функции так, чтобы получить её графическое отображение. Воспользуемся методом выделения полного квадрата двучлена относительно x1 и x2, разделив левую и правую части формулы на -0.2:
-5Z = x12 -18x1 + x22 – 4x2
Добавим к левой и правой частям уравнения числа, необходимые для выделения полных квадратов двучлена в правой части выражения: