Управление запасами (стр. 7 из 9)

(4.6)

(4.7)

При k = 1 соотношение (4.7) примет вид

(4.8)

или

. (4.9)

Тогда с учетом (4.4) и (4.9) функция состояния

, (4.10)

причем если не видно никаких ограничений на объем складских помещений и производственную мощность предприятия, то

,

. (4.11)

Это связано с тем обстоятельством, что если иметь на конец 1-го этапа запас изделий в качестве

, то, ничего не изготовляя в течение всего планового периода, а только удовлетворяя спрос, можно выйти на уровень запасов y_n в конце n-го месяца. В то же время если уровень запасов на начало 1-го этапа равен y₀, то, изготовив в 1-м месяце изделий в количестве и не производя ничего на последних этапах, получим тот же запас y_n в конце планового периода. Если же на 1-м этапе предприятие может вместить готовой продукции не более М₁ изделий, а мощности предприятия не позволяют произвести более N₁ изделий, то

,

. (4.12)

Получим рекуррентное соотношение динамического программирования в модели управления запасами при любом k = 2, …,n.

Запишем функцию состояния (4.5) в виде

. (4.13)

Здесь, как уже было сказано выше, все переменные связаны балансовыми уравнениями

. (4.14)

В связи с тем что величина запаса y_k-1 к концу (k – 1)-го планового этапа с учетом (4.7) равна

, имеем следующее рекуррентное соотношение динамической модели управления запасами:

. (4.15)

Если внешних ограничений на уровни хранения и объемы производства не существует, то по аналогии с (4.11) получаем внутренние ограничения модели

,

. (4.16)

Если складские емкости и производственные мощности предприятия ограничены количеством изделий M_k и N_k соответственно, то аналогично соотношениям (4.12) имеем

,

. (4.17)

На самом деле ограничения (4.16) и (4.17) имеют более сложную структуру. Однако для решения практических задач этого вполне достаточно. Напомним лишь о том, что переменные x_k и y_k целочисленны и не отрицательны.

Рассмотрим теперь функцию затрат

. Введем следующие обозначения:

g_t – затраты на производство и доставку заказа на t-м этапе;

c_t(x_t) – затраты на производство x_t единиц продукции на t-м этапе;

h_t(y_t) – затраты на хранение y_t единиц продукции в течение t-го планового этапа.

Для определенности будем считать, что производственные затраты линейны, т.е. c_t(x_t) = c_tx_t, и что затраты на хранение пропорциональны объему хранимой продукции в течении месяца. Далее, уровень (объем) хранения в течение этого месяца определяется уровнем хранения на конец этапа. Иными словами, поскольку время изготовления партий изделий пренебрежимо мало, а производить и отправлять заказчикам продукцию предприятию выгодно вначале каждого месяца, то уровень хранимого имущества в течение t-го этапа определяется соотношением баланса

. В итоге получаем .

Функция затрат с учетом выведенных обозначений примет вид

(4.18)

Применим теперь метод динамического программирования к решению задачи управления запасами.

o Пример 6. Определение оптимальной программы производства

Рассмотрим плановый период работы предприятия, состоящий из трех месяцев: января, февраля, марта. Исходные данные сведены в таблице 1.

Таблица 1

Этап	k	1	2	3
Месяц	Январь	Февраль	Март
Спрос	dk	2	5	2
Затраты на оформление заказа	gk	10	5	10
Затраты на производство одного изделия	ck	3	5	3
Стоимость хранения одного изделия в течение месяца	hk	2	2	1

Функция затрат определена формулой (4.18). Кроме того, будем считать, что предприятие не может производить более четырех изделий, а хранить – более трех, т.е. M_k = 3, N_k = 4, а уровень запасов y₀ = y₃ = 0.

Необходимо составить оптимальную программу выпуска продукции

, которая минимизирует суммарные издержки предприятия.

Рассмотрим январский этап (k=1). Поскольку плановый период состоит из одного месяца, у нас практически нет возможности влиять на объем производства изделий. Поэтому все допустимые программы выпуска продукции будут оптимальны, поскольку они единственны.

Функция состояния в соответствии с (4.10) примет вид

.

Прежде чем произвести расчеты

по формуле (4.18), укажем ограничения на изменения переменных x₁ и y₁. Поскольку уровни запасов на начало и конец планового периода равны нулю, то в январе мы можем произвести такое количество изделий, чтобы удовлетворять не только январский, но и февральский и мартовский спрос, т.е. произвести изделий, однако N₁ = 4, поэтому . Возникает естественный вопрос: каков должен быть уровень запасов на конец января (или, что одно и то же, на начало февраля), чтобы, не изготавливая ничего ни в феврале, ни в марте, опять выйти на нулевой уровень запасов в конце марта? Ответ очевиден: объем запасов продукции должен быть равен . Но поскольку возможности склада ограничены , в итоге получаем:

.

Результаты вычислений сведем в табл. 2.

.

Таблица 2

0 1 2 3	2 3 4 –	10 + 3 · 2 + 1 · 0 = 16 10 + 3 · 3 + 1 · 1 = 20 10 + 3 · 4 + 1 · 2 = 24 –

Рассмотрим k = 2, когда плановый период содержит январь и февраль. У нас появляются дополнительные возможности для изменения объема выпуска изделий на каждом из этапов, с тем чтобы выйти на ненулевой уровень запасов y₃ = 0.

Рекуррентное соотношение (4.15) примем вид

,

где ξ – оптимальное значение уровня запасов y₂ на конец второго этапа, которому соответствует наименьшие суммарные затраты на производство и хранение продукции.

Ограничения на объем производства и уровень хранения очевидны:

,

.

Отобразим в таблице 3 все необходимые вычисления для февральского этапа

.

Таблица 3

x2 y2	0	1	2	3	4
0	5 –	4 –	3 –	2 20 + 0 + 24 = 44	1 25 + 0 + 20 = 45	3	44
1	6 –	5 –	4 –	3 –	2 25 + 2 +24 =51	4	51
2	7 –	6 –	5 –	4 –	3 –	–	–

Поясним содержание этой таблицы. Объем производства и уровень хранения определяются значениями x₂ и y₂ соответственно. В верхнем правом углу каждой клетки указаны уровни запасов на начало второго этапа, которые с помощью балансового уравнения вычисляются по формуле

. Сумма внутри каждой клетки содержит три слагаемых. Рассмотрим эти слагаемые для клетки с координатами . Первое слагаемое – затраты на оформление заказа и производство продукции ; второе – затраты на хранение . Сумма двух первых слагаемых равна . Прежде чем вычислить третье слагаемое, которое в рекуррентном соотношении обозначено как , вспомним, что величина вычислена, находится в верхнем правом углу клетки и равна 0 – 3 + 5 = 2. Поэтому третье слагаемое возьмем из январской таблицы. Аналогично рассчитываются слагаемые в остальных клетках, а в «запрещенных» клетках, для которых не нашлось последнего слагаемого в январской (k = 1) таблице, сделан прочерк. Наименьшие суммарные затраты для каждого y₂ запишем в последнем столбце (они подсчитаны в выделенных рамкой клетках), а значения оптимальных объемов производства изделий в феврале занесем в предпоследний столбец таблицы.