Управление запасами (стр. 6 из 9)
Проверим качество приближенной оценки величины
, рассчитанной по формуле (3.19). в нашем случае 
, откуда 
. Таким образом, порядок погрешности формула (3.19) указывает верно.При других способах расчета штрафа форма записи системы (3.13) – (3.14) меняется очевидным образом. Так, при расчете штрафа, связанного с недостачей, носящей стохастический характер, оптимальный набор
определяется по формулам 
(3.21)а при учете величины и времени существования дефицита – с помощью соотношений
Эти системы тоже решаются методом итераций.Приближенные методы планирования поставок при их случайной издержке
Небольшой разброс фактических моментов прибытия поставок относительно предусмотренных позволяет планировать организацию снабжения методами, рассмотренными выше. В связи с неопределенностью момента прибытия поставки применение периодических стратегий
и 
в данном случае оказывается невыгодным, и оптимизация проводится в классе стратегий с нижним критическим уровнем – обычно 
.В качестве примера рассмотрим пуассоновский спрос интенсивности и экспоненциально распределенное время задержки поставок со средним, равным 1/λ.
Найдем распределение спроса за время задержки. Вероятность того, что спрос будет равен х, очевидно, составит
.Последний интеграл может быть представлен в виде
и выражен через гамма-функцию
(для целых х). таким образом, 
, (3.23)т.е. спрос за время издержки имеет отрицательное биноминальное распределение. Математическое ожидание недостач при страховом запасе
составит 
.Первая из этих сумм
представляет собой арифметико-геометрическую прогрессию. Сумма членов прогрессии вида
записывается в виде 
.В интересующем нас случае d = 0 и r = 1, так что
.С помощью этой формулы легко получить более общее соотношение:
.Его предельным случаем при
и 
является 
.Таким образом,
.Вторая сумма – обычная геометрическая прогрессия:
.Следовательно, математическое ожидание недостач
.Для облегчения процесса минимизации затрат предположим, что q и
– любые действительные числа. Тогда мы сможем найти оптимальные q и из системы уравнений (3.13 – 3.14), в нашем случае принимающей вид 
(3.24)и из четырех ближайших точек с целочисленными координатами выбрать дающую наилучший результат. Сравнение должно проводиться по затратам в единицу времени
(3.25)Преобразуем систему (2.14). подставив второе уравнение в первое и возведя в квадрат обе части равенства, имеем
,или
.Таким образом, оптимальный набор
дается условиями 
(3.26)В качестве приближенного решения можно использовать результат расчета q по средней интенсивности спроса с последующим вычислением
согласно уравнению (2.14). в нашем случае соответствующие формулы примут вид 
(3.27)o Пример 5. Определение прироста затрат, связанного с отходом от строгой оптимальности
Положим, µ = 2, λ = 0,5, h = 2, g = 25, p = 70. При этих значениях параметров расчет по формулам (3.26) дает q = 12,90 и
. Суммарные затраты в единицу времени составляют 40,03. 
Приближенный расчет в соответствии (3.27) дает q = 7,06 и 
; при этом сумма затрат достигает 42,9. Таким образом, разница в затратах, подсчитываемых согласно (3.25) для обоих вариантов вычислений 
, сравнительно невелика.4. Динамическая модель управления запасами
Рассмотрим предприятие, которое изготовляет партиями некоторые изделия. Оно состоит из производственных цехов и склада для хранения готовой продукции. Предположим, что предприятие получило заказы на продукцию на n месяцев (этапов) вперед. Эти заказы необходимо полностью и своевременно выполнять (дефицит не допускается). Для разных этапов спрос не одинаков, кроме того, на экономические показатели производства влияют размеры изготовляемых партий продукции. Поэтому предприятию иногда бывает выгодно производить в течение месяца продукцию в объеме, превышающем спрос в пределах этого этапа, и хранить запасы «лишней» продукции, используя их для удовлетворения последующего спроса. Продолжительность изготовления партии изделий будем считать пренебрежимо малой (однако это требование может быть изменено в соответствии с особенностями технологического процесса). Цель предприятия – выработать такую программу производства, которая обеспечила бы минимальные затраты на изготовление и хранения продукции.
Введем обозначения:
xt – число изделий, изготовленных в t-м месяце (этапе);
yt – уровень запасов на конец t-го месяца;
dt – спрос на изделие в t-м месяце;
ft(xt, yt) – затраты на производство и хранение изделий в t-м месяце.
Соотношение материального базиса примет вид
(4.1)т.е уровень запасов на конец t-го этапа равен сумме уровня запасов на начало t-го и объема производства на t-м этапе за вычетом спроса на t-м этапе.
Данное балансовое соотношение можно записать и в другом виде:
(4.2)Наша задача состоит в том, чтобы составить такой план производства
X = (x1, …,xn), или, что тоже самое, найти такой план хранения запасов Y = (y1, …,yn), который обеспечил бы минимальные суммарные затраты предприятия
(4.3)за весь плановый период.
Введем ограничения на переменные xt, yt. Будем считать объемы производства и уровни хранения на каждом этапе неотрицательными и целочисленными величинами. Кроме того, предположим, что уровни запасов к началу первого этапа y0 и к концу последнего yn заранее известны.
Решим сформулированную задачу методом динамического программирования. В качестве параметра состояния ζ примем уровень запасов на конец k-го этапа
. (4.4)Функцию составления
определим как минимальные затраты за первые k месяцев, т.е. 
. (4.5)Здесь абсолютный минимум берется по всем значениям x1, …,xk, удовлетворяющим балансовым уравнениям: