Применение линейного программирования для решения экономических задач (оптимизация прибыли) (стр. 1 из 5)

КУРСОВАЯ РАБОТА

по курсу: Экономико-математические методы и модели

на тему: «Применение линейного программирования для решения экономических задач (оптимизация прибыли)»

Тюмень, 2007

СОДЕРЖАНИЕ

Введение 3

1. Теоретико-методическое описание метода линейного программирования 5

2. Области применения и ограничения использования линейного программирования для решения экономических задач 16

3. Оптимизация прибыли с применением метода ЛП 23

3.1 Постановка задачи и формирование оптимизационной модели 23

3.2 Расчет и анализ результатов оптимизации прибыли 24

Заключение 27

Список литературы 29

Введение

Развитие современного общества характеризуется повышением технического уровня, усложнением организационной структуры производства, углублением общественного разделения труда, предъявлением высоких требований к методам планирования и хозяйственного руководства. В этих условиях только научный подход к руководству экономической жизнью общества позволит обеспечить высокие темпы развития народного хозяйства.

Одним из необходимых условий дальнейшего развития экономической науки является применение точных методов количественного анализа, широкое использование математики. В настоящее время новейшие достижения математики и современной вычислительной техники находят все более широкое применение в экономических исследованиях и планировании. Этому способствует развитие таких разделов математики, как математическое программирование, теория игр, теория массового обслуживания, а также бурное развитие быстродействующей электронно-вычислительной техники. Уже накоплен достаточный опыт постановки и решения экономических задач с помощью математических методов. Особенно успешно развиваются методы оптимального планирования, которые и составляют сущность математического программирования.

Одной из основных становится задача создания единой системы оптимального планирования и управления народным хозяйством на базе широкого применения математических методов и электронно-вычислительной техники в экономике.

Основной целью написания курсовой работы является всесторонний анализ применения линейного программирования для решения экономических задач. Задачами курсовой работы являются:

1. Теоретико-методическое описание метода линейного программирования;

2. Выявление области применения и ограничения использования линейного программирования для решения экономических задач;

3. Оптимизация прибыли с применением метода линейного программирования;

4. Постановка задачи и формирование оптимизационной модели;

5. Расчет и анализ результатов оптимизации прибыли.

1. Теоретико-методическое описание метода линейного программирования

В настоящее время линейное программирование является одним из наиболее употребительных аппаратов математической теории оптимального принятия решений. Для решения задач линейного программирования разработано сложное программное обеспечение, дающее возможность эффективно и надежно решать практические задачи больших объемов. Владение аппаратом линейного программирования необходимо каждому специалисту в области прикладной математики.

Линейное программирование – это наука о методах исследования и отыскания наибольших и наименьших значений линейной функции, на неизвестные которой наложены линейные ограничения. Таким образом, задачи линейного программирования относятся к задачам на условный экстремум функции. По типу решаемых задач методы разделяются на универсальные и специальные. С помощью универсальных методов могут решаться любые задачи линейного программирования (ЗЛП). Специальные методы учитывают особенности модели задачи, ее целевой функции и системы ограничений.

Особенностью задач линейного программирования является то, что экстремума целевая функция достигает на границе области допустимых решений. Классические же методы дифференциального исчисления связаны с нахождением экстремумов функции во внутренней точке области допустимых значений. Отсюда — необходимость разработки новых методов.[3, c.7]

Линейное программирование представляет собой наиболее часто используемый метод оптимизации. К числу задач линейного программирования можно отнести задачи:

1. рационального использования сырья и материалов;

2. задачи оптимального раскроя;

3. оптимизации производственной программы предприятий;

4. оптимального размещения и концентрации производства;

5. составления оптимального плана перевозок, работы транспорта (транспортные задачи);

6. управления производственными запасами;

7. и многие другие, принадлежащие сфере оптимального планирования.

Линейное программирование является одной из основных частей того раздела современной математики, который получил название математического программирования. В общей постановке, задачи этого раздела выглядят следующим образом.

Требуется найти такие неотрицательные

, которые обеспечивают максимум или минимум целевой функции (формула 1.1), которые удовлетворяют системе ограничений (формула 1.2) и не противоречат условиям неотрицательности: .

(1.1)

(1.2)

… … … … … … … … … …

В зависимости от вида функции

различают разделы математического программирования: квадратичное программирование, выпуклое программирование, целочисленное программирование и т.д. Линейное программирование характеризуется тем, что функция является линейной функцией переменных . [1 c.11-12]

Формы задач линейного программирования:

1. стандартная;

1.1 первая стандартная форма (формула 1.3);

1.2 вторая стандартная форма (формула 1.4);

2. каноническая (формула 1.5).

(1.3)

… … … … … … … … … …

.

(1.4)

… … … … … … … … … …

.

(1.5)

… … … … … … … … …

.

Задачу на минимум (формула 1.6) можно решать как задачу на максимум. Достаточно знаки целевой функции поменять на противоположные (формула 1.7). В результате необходимо знак целевой функции поменять на противоположный.

(1.6)

(1.7)

Аналогично можно сменить знак неравенства меньше или равно (формула 1.8) на больше или равно (формула 1.9).

(1.8)

(1.9)

Целевая функция задачи линейного программирования достигает своего экстремума (минимума или максимума) в вершине допустимой области. Если целевая функция достигает экстремального значения более чем на одной вершине, то она достигает того же значения в любой точке, являющейся выпуклой комбинацией этих вершин (альтернативный оптимум).

Эта теорема имеет важнейшие значение, так как она указывает путь решения задачи линейного программирования. Совсем не надо перебирать все точки допустимой области. Достаточно перебрать вершины допустимой области, а ведь их конечное число. Кроме того, не нужно перебирать все вершины, можно этот перебор существенно сократить.

Любой набор чисел

, удовлетворяющий ограничениям задачи, называют планом, а множество всех планов допустимой областью. Тот план, который доставляет экстремум (минимум или максимум) целевой функции, называют оптимальным планом или просто решением задачи линейного программирования. [3 c.7-8]

Задачи линейного программирования решаются несколькими методами:

1. графический метод;

2. симплексный метод;

3. двойственность в ЛП;

4.двойственный симплексный метод.

Задачи линейного программирования с двумя переменными всегда можно решить графически. Однако уже в трехмерном пространстве такое решение усложняется, а в пространствах, размерность которых больше трех, графическое решение невозможно.