Математические модели поведения производителей (стр. 2 из 3)

Задача о назначениях на работу . Имеется n работ и n исполнителей. Стоимость выполнения работы i исполнителем j равна c_ij. Нужно распределить исполнителей на работы так, чтобы минимизировать затраты на оплату труда.

3адача о смесях (о рационе). Из m видов исходных материалов каждый из которых состоит из n компонент, составить смесь, в которой содержание компонент должно быть не меньше b₁ ,...,b_n .Известны цены единиц материалов с₁ ,...,с_m и удельный вес j-го компонента в единице i-го материала. Требуется составить смесь, в которой затраты будут минимальными.

Задача о рюкзаке. Имеется n предметов. Вес предмета i равен р_i , ценность – сi (i=1,...,n). Требуется при заданной ценности груза выбрать совокупность предметов минимального веса.

Задача о коммивояжере. Имеется n городов и заданы расстояния c_ij между ними (j,i=1,...,n). Выезжая из одного (исходного) города, коммивояжер должен побывать во всех остальных городах по одному разу и вернуться в исходный город. Нужно определить в каком порядке следует обьезжать города, чтобы суммарное пройденное расстояние было наименьшим.

Задача о станках. На универсальном станке обрабатываются одинаковые партии из n деталей. Переход от обработки детали i к обработке детали j требует переналадки станка, которая занимает c_ij времени. Требуется определить последовательность обработки деталей, при которой общее время переналадок станка при обработку партии деталей минимально.

Задача о распределении капиталовложений. Имеется n проектов, причем для каждого проекта j известны ожидаемый эффект

от его реализации и необходимая величина капиталовложений g_j . Общий объем капиталовложений не может превышать заданной величины b. Требуется определить, какие проекты необходимо реализовать, чтобы суммарный эффект был наибольшим.

Задача о размещении производства. Планируется выпуск m видов продукции, которые могли бы производиться на n предприятиях (n>m). Издержки производства и сбыта единицы продукции, плановый объем годового производства продукции и плановая стоимость единицы продукции каждого вида известны. Требуется из n предприятий выбрать такие m, каждое из которых будет производить один вид продукции.

Модель фирмы

Пусть производственная фирма выпускает один вид продукции или много видов, но в постоянной структуре. Тогда годовой выпуск фирмы в натурально-вещественной форме X - это число единиц продукции одного вида или число много номенклатурных агрегатов. Для производства продукции фирма использует настоящий труд L ( среднее число занятых в год либо отработанные за год человеко-часы) прошлый труд в виде средств труда К (основные производственные фонды) и предметов труда М (затраченные за год топливо, энергия, сырьё, материалы, комплектующие и т.п.).

Каждый из этих трех агрегированных видов ресурсов (труд, фонды и материалы) имеет определенное число разновидностей (труд разной квалификации, оборудование различного вида и т.п.). Обозначим вектор-столбец возможных объемов затрат различных видов ресурсов через х=(х₁ ..., х_n)'. Тогда технология фирмы определяется ее производственной функцией, выражающей связь между затратами ресурсов и выпуском:

X=F(x). (3)

Предполагается, что F(x) является дважды непрерывно-дифференцируемой и неоклассической, кроме того, ее матрица вторых производных отрицательно определена.

Если цена единицы продукции равна р, а цена единицы ресурса j-го вида — wj ,j= 1, ..., n, то каждому вектору затрат х отвечает прибыль П(х) = pF(x)-wx, ( 4) где w= (w1, w2 ..., wn) — вектор-строка цен ресурсов. Цены ресурсов имеют естественный и понятный смысл: если хj — среднегодовое число занятых определенной профессии, то wj - годовая заработная плата одного работника данной профессии; если хj — по-купные материалы (топливо, энергия и т.п.), то wj — покупная цена единицы данного материала; если хj — производственные фонды определенного вида, то wj — годовая арендная плата за единицу фондов или стоимость поддержания единицы фондов в исправности, если фирма владеет этими средствами.

В (4) R = pX= pF(x) - стоимость годового выпуска фирмы или ее годовой доход, С = wx — издержки производства или стоимость затрат ресурсов за год.

Если нет других ограничений на размеры вовлекаемых в производ-ство ресурсов, кроме естественного требования их неотрицательности, то задача на максимум прибыли приобретает вид

max [pF(x)- wx] (5)

Это задача нелинейного программирования с п условиями неотрицательности х>0, необходимыми условиями ее решения являются условия Куна-Таккера (см. В. А. Колемаев «Математическая экономика», с.236, Приложение 4)

(6)

Если в оптимальном решении использованы все виды ресурсов, т.е. х*>0, то условия (6) принимают вид

или (7)

т.е. в оптимальной точке стоимость предельного продукта данного pесурса должна равняться его цене.

Точно такое же по форме решение имеет задача на максимум выпуска при заданном объеме издержек

max F(x), (8) wx

С, х

0

Это задача нелинейного программирования с одним линейным ограничением и условием неотрицательности переменных. Согласно теории (см. Приложение 4) вначале строим функцию Лагранжа

L(x,

) = F(x) +

(C-wx),

затем максимизируем ее при условии неотрицательности переменных. Для этого необходимо выполнение условий Куна—Таккера

(9)

Как видим, условия (9) полностью совпадают с (6), если

Пример . Выпуск однопродуктовой фирмы задается следующей проиводственной функцией Кобба-Дугласа:

Х= F(K, L) = 3K^2/3L^1/3

Определить максимальный выпуск, если на аренду фондов и оплату труда выделено 150 д.е., стоимость аренды единицы фондов w_к= 5 д.е./е.ф., ставка заработной платы w_L = 10 д.е./чел.

Какова предельная норма замены одного занятого фондами в оптимальной точке?

Решение. Поскольку F(0,L) = F(K, 0) = 0, то в оптимальном решении К* > 0, L*>0, поэтому условия (9) принимают вид

(10)

или в нашем случае

Поделив первое уравнение на второе, получаем

Подставив это соотношение в условие w_KK* + w_LL* = 150, находим

Решение можно проиллюстрировать геометрически. На рис. 1 изображены изокосты (линии постоянных издержек для С = 50, 100, 150) и изокванты (линии постоянных выпусков для Х= 25,2; 37,8).

Рисунок 1

Изокосты имеют следующие уравнения:

5K+10L=C = const.

Изокванты имеют следующие уравнения:

В оптимальной точке К* = 20, L* = 5 изокванта X* = 37,8 и изокоста, проходящие через эту точку, касаются, поскольку согласно (10) нормали к этим кривым, заданные градиентами , коллинеарны.

Норма замены труда фондами в оптимальной точке

т.е. один работающий может быть заменен двумя единицами фондов.

Решая задачу фирмы (5) на максимум прибыли, находим единственный оптимальный набор ресурсов х* >0 (рассматриваем случай, когда все ресурсы войдут в набор). Этому набору отвечает единственное значение издержек С* = wx* . Решим теперь задачу (8) на максимум выпуска при заданных издержках С* . Если F(x) — неоклассическая производственная функция, то в оптимальном решении х* > 0, причем это решение единственно.

Таким образом, с одной стороны,

,

а с другой стороны –

. Поскольку П(х^*) = pF(x^*)-wx^*

pF(

)-w

=П(

) и wx^*= w

=С^*, то , но , поэтому .