Математические методы и модели исследования операций (стр. 1 из 3)
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего
профессионального образования
«Санкт-Петербургский государственный
политехнический университет»
Факультет «Экономики и менеджмента»
Кафедра «Стратегический менеджмент»
Курсовая работа
«Математические методы и модели исследования операций»
Санкт-Петербург
2010
Оглавление
Введение
1. Задача линейного программирования
2. Построение экономико-математической задачи
3. Решение с помощью пакета WinQSB
3.1 Анализ оптимального решения и его чувствительности
3.2 Графический анализ чувствительности
Заключение
Введение
Известно, что решения, обоснованные математически, значительно эффективнее тех, которые принимаются лишь с опорой на опыт и интуицию. Для математического обоснования решений используются методы исследования операций, требующие громоздких математических расчетов с использованием современной вычислительной техники. За последнее время было создано много новых программ, предназначенных для использования при выработке управленческих решений. Однако, наряду со специальными программами и их пакетами, при обосновании решений по-прежнему широко используется программа Microsoft Ехсеl[1], но в данном курсовом проекте работа строится на основе ППП WinQSB специально выпущенном на 64-х битную модель Windows 7.
Цель данного курсового проекта – показать, на каком уровне находится знание ППП WinQSB, а так же конечно найти оптимальное решение поставленной задачи.
В курсовом проекте поставлены точные задачи, которые влекут за собой определенные требования, а именно:
1) Получаемая прибыль должна быть максимальной
2) Используемые ресурса должны быть израсходованы на максимальном уровне.
Для решения поставленных задач используется изначальная таблица, которая любезно была предоставлена преподавателем. Выбранный мною вариант для решения – 15-ый.
Предприятие может выпускать 4 вида продукции (A, B, C, D), используя при этом 3 вида ресурсов (R1, R2, R3). Нормы расхода ресурсов, прибыль, получаемая от реализации единицы продукции, значения ожидаемого спроса на продукцию, наличие ресурсов в планируемом периоде, убытки от недоиспользования ресурсов представлены в таблице 1:
Таблица1. Исходные данные
| Наименование показателей | Норма расхода ресурсов на единицу продукции, усл. Ед./ед. продукции | Наличие ресурсов, условных единиц | Убытки от недоиспользования единицы ресурса, тыс. руб/усл. ед. | |||
| A | В | С | D | |||
| Ресурс R1 | 4 | 2 | 1 | 4 | 500 + 2N | 2 |
| Ресурс R2 | 2 | - | 2 | 3 | 200 + 2N | 3 |
| Ресурс R3 | 2 | 3 | 1 | - | 540 + 2N | 4 |
| Прибыль от реалии- зации единицы продукции, тыс. руб./ед. прод. | N | N – 5 | N – 6 | N – 2 | N = 15 | |
| Минимальная величина спроса, ед. продукции | N | 2N | 0 | N – 5 | ||
| Максимальная величина спроса, ед. продукции | 10N | 20N | 5N | 20N | ||
Мой первый шаг в курсовом проекте – это подставить номер моего варианта вместо N, тем самым мы получаем исходные данные, которые будут использоваться для решения задачи. Данные которые я получаю при подстановке своего варианта приведены в таблице 2.
Таблица 2. Полученные данные для решения задачи
| Наименование показателей | Норма расхода ресурсов на единицу продукции, усл. ед./ед. продукции | Наличие ресурсов, условных единиц | Убытки от недоиспользования единицы ресурса, тыс. руб/усл. ед. | |||
| A | В | С | D | |||
| Ресурс R1 | 4 | 2 | 1 | 4 | 530 | 2 |
| Ресурс R2 | 2 | - | 2 | 3 | 230 | 3 |
| Ресурс R3 | 2 | 3 | 1 | - | 570 | 4 |
| Прибыль от реалии- зации единицы продукции, тыс. руб./ед. прод. | 15 | 10 | 9 | 13 | N = 15 | |
| Минимальная величина спроса, ед. продукции | 15 | 30 | 0 | 10 | ||
| Максимальная величина спроса, ед. продукции | 150 | 300 | 75 | 300 | ||
1. Задача линейного программирования
Линейное программирование – это направление математического программирования, изучающее методы решения экстремальных задач, которые характеризуются линейной зависимостью между переменными и линейным критерием.
Необходимым условием постановки задачи линейного программирования являются ограничения на наличие ресурсов, величину спроса, производственную мощность предприятия и другие производственные факторы.
Сущность линейного программирования состоит в нахождении точек наибольшего или наименьшего значения некоторой функции при определенном наборе ограничений, налагаемых на аргументы и образующих систему ограничений, которая имеет, как правило, бесконечное множество решений. Каждая совокупность значений переменных (аргументов функции F), которые удовлетворяют системе ограничений, называется допустимым планом задачи линейного программирования. Функция F, максимум или минимум которой определяется, называется целевой функцией задачи. Допустимый план, на котором достигается максимум или минимум функции F, называется оптимальным планом задачи.
Система ограничений, определяющая множество планов, диктуется условиями производства. Задачей линейного программирования (ЗЛП) является выбор из множества допустимых планов наиболее выгодного (оптимального).
Математическая модель любой задачи линейного программирования включает в себя:
1) максимум или минимум целевой функции (критерий оптимальности);
2) систему ограничений в форме линейных уравнений и неравенств;
2. Построение экономико-математической задачи
Требуется определить план выпуска четырех видов продукции, обеспечивающий максимальную прибыль от ее реализации. На изготовление этой продукции расходуются три вида ресурсов (R). С учетом рыночного спроса и производственно-технологических возможностей заданы предельные границы выпуска каждого вида продукции. Эти границы, наличие и нормы расхода ресурсов, а также маржинальная прибыль (разность между выручкой и переменными издержками) на единицу продукции приведены в таблице:
| Ресурсы | А | В | С | D | Наличие |
| Ресурс R1 | 4 | 2 | 1 | 4 | 530 |
| Ресурс R2 | 2 | - | 2 | 3 | 230 |
| Ресурс R3 | 2 | 3 | 1 | - | 570 |
| Прибыль | 15 | 10 | 9 | 13 | |
| Нижн. гр. | 15 | 30 | 0 | 10 | |
| Верхн. гр. | 150 | 300 | 75 | 300 |
Построим математическую модель задачи, обозначив количество выпускаемых изделий через х1, х2, х3, х4, а целевую функцию (валовую маржинальную прибыль) — через F:
F(х) = 15х1 + 10х2 + 9х3 + 13х4 → Мах;
Граничные условия:
4х1 + 2х2 + 1х3 + 4х4 < 530;
2х1 +…+ 2х3 + 3х4 < 230;
2х1 + 3х2 + 1х3+… < 570;
х1,х2,х3,х4 >0
Ограничения:
15<x1<150,
30<x2<300,
x3<75,
10<x4<300,
х1,х2,х3,х4 >0
Решения, удовлетворяющие системе ограничений условий задачи и требованиям не отрицательности, называются допустимыми, а решения, удовлетворяющие одновременно и требованиям максимизации целевой функции, - оптимальными.
Выше описанная задача линейного программирования представлена в общей форме, но мне следует представить задачу в канонической форме. В канонической форме задача является задачей на максимум некоторой линейной функции F, ее система ограничений состоит только из равенств (уравнений). Для этого мне необходимо ввести дополнительные переменные.
На данном этапе следует представить задачу в канонической форме. Для того, чтобы реализовать данное действие, следует добавить дополнительные переменные. Получаем систему уравнений:
4х1 + 2х2 + х3 + 4х4 + х5= 530;2х1 +…+ 2х3 + 3х4 +х6= 230;
2х1 + 3х2 + х3 +…+х7 = 570;
х1,х2,х3,х4, х5,х6,х7 >0
(4х1 + 2х2 + х3 + 4х4 – мы реально физически используем данное кол-во; х5 – степень использования ресурса R1 (недоиспользованный ресурс). Аналогично будет и для других уравнений).
При этом необходимо ввести в целевую функцию издержки («убытки от недоиспользования ресурса»), которые были нам даны в изначальном условии, поэтому целевая функция будет следующей:
F(х) = 15х1 + 10х2 + 9х3 + 13х4 – 2х5 – 3х6 – 4х7 → Мах.
3. Решение с помощью пакета WinQSB
На данном этапе я использую ППП WinQSB, с помощью которого я решаю задачу линейного и целочисленного программирования. Следующий шаг – это выбор матричной формы задачи. Был произведен ввод данных на основе ограничений.
Рис. 1. Матричная форма
В строке Variable — имена переменных. У нас это вид производимой продукции.