Математические методы в экономике (стр. 1 из 2)
Задание 1. Графоаналитический метод решения задач линейного программирования
Постановка задачи: Необходимо найти решение задачи, состоящей в определении максимального значения функции F=c1x1+c2x2, где переменные xj≥0 (j=1;2) – планируемое количество единиц j-й продукции, а сj – прибыль на единицу j-й продукции при условиях ai1x1+ai2x2≤bi (i=1,…,k), xj≥0 (j=1,2).
Решение
1. Заменяем ограничения-неравенства на ограничения-равенства (привести задачу к каноническому виду).
2. Построим прямые, соответствующие полученным уравнениям.
3. Определить полуплоскости, соответствующие заданным неравенствам в системе ограничений.
4. Поиск области допустимых решений задачи.
5. Построить градиент функции цели: grad F=(F’x1; F’x2).
6. Построить прямую нулевого уровня c1x1+c2x2=0, (эта прямая перпендикулярна градиенту).
7. Переместить эту прямую в направлении градиента, в результате чего будет найдена точка (точки), в которой целевая функция принимает максимальное значение, или же установлена неограниченность функции на множестве планов.
8. Определить координаты точки максимума функции и вычислить значение целевой функции в этой точке.
Система ограничений:
Целевая функция
. 
(1)Построим прямые, ограничивающие многоугольник допустимых решений:
 |
 | 7 | 8 |
 | 3 | 0 |
- прямая, параллельная оси 
- линия уровня (F=0); 
| | 0 | 5 |
| | 0 | -2 |
- вектор, в направлении которого расположено оптимальное решение задачиИз системы неравенств (1) следует, что многоугольник решений на графике ОАВС.
Максимальную длину имеет перпендикуляр, опущенный из точки В, где пересекаются прямые
- оптимальный план выпуска продукции. 
- максимальное значение прибыли. 
Задание 2. Симплекс-метод решения задач линейного программирования
Постановка задачи: необходимо найти решение задачи, состоящей в определении максимального значения функции F=c1x1+c2x2+c3x3, где переменные xj≥0 (j=1;2) – планируемое количество единиц j-й продукции, а сj прибыль на единицу j-й продукции при условиях ai1x1+ai2x2+…+ ainxn≤bi (i=1,…,m), xj≥0 (j=1,2,…,m).
Решение.
1. Записать математическую модель задачи
| Сырье | Продукция | Общее количество сырья | ||
| А | В | С | ||
| S1 | 15 | 12 | 15 | 360 |
| S2 | 6 | 8 | 4 | 192 |
| S3 | 3 | 2 | 5 | 180 |
| Цена одного изделия (руб.) | 9 | 10 | 16 | |
2. Привести задачу к каноническому виду, для этого перейти от ограничений-неравенств к ограничениям-равенствам, для чего вводятся дополнительные переменные, которые по экономическому смыслу означают не используемое при данном плане производства количество сырья того или иного вида.
3. Заполнить симплекс-таблицу.
4. Выяснить, имеется ли хотя бы одно отрицательное число Dj (в строке F, см. таблицу ниже). Если нет, то найденный опорный план оптимален. Если же среди чисел Dj есть отрицательные, то либо устанавливают неразрешимость задачи, либо переходят к новому опорному плану.
5. Находят направляющие столбец и строку. Направляющий столбец определяется наибольшим по абсолютной величине отрицательным числом Dj, а направляющая строка – минимальным из отношений компонент столбца вектора Р0 к положительным компонентам направляющего столбца.
6. Определяют положительные компоненты нового опорного плана, коэффициенты разложения векторов Pj по векторам нового базиса и числа F0’, Dj’. Все эти числа записываются в новой таблице.
7. Проверяют найденный опорный план на оптимальность. Если план не оптимален и необходимо перейти к новому опорному плану, то возвращаются к пункту 5, а в случае получения оптимального плана или установления неразрешимости процесс решения задачи заканчивается.
Запишем систему ограничений задачи.
. 
- целевая функция.Для использования симплекс-метода запишем задачу в следующем виде:
- целевая функция.  | |  |  |  |  | b | Отношения | |
| | 15 | 12 | 15 | 1 | 0 | 0 | 360 |  |
| | 6 | 8 | 4 | 0 | 1 | 0 | 192 |  |
| | 3 | 2 | 5 | 0 | 0 | 1 | 180 |  |
| F | -9 | -10 | -16 | 0 | 0 | 0 | 0 | |
| * | 1 | 4/5 | 1 | 1/15 | 0 | 0 | 24 | |
| | 2 | 24/5 | 0 | -4/15 | 1 | 0 | 96 | |
| | -2 | -2 | 0 | -1/3 | 0 | 1 | 60 | |
| F | 7 | 14/5 | 0 | 16/15 | 0 | 0 | -384 |
Так как в строке F нет отрицательных элементов (кроме последнего значения), то получен оптимальный план (0;0;24;0;96;60) и максимальное значение целевой функции Fmax=384. Значит, план выпуска продукции составляет 24 изделия вида С.
При данном выпуске продукции полностью используется сырье S3, остаются неиспользованными сырье вида S1,2. Стоимость производимой продукции равна 384 руб.
Задание 3. Транспортная задача
На оптовых складах А1, А2, А3 имеются запасы некоторого продукта в количествах 30, 60 и 10 т соответственно. Найти такой вариант прикрепления магазинов к складам, при котором сумма затрат на перевозку была бы минимальной.
| Склады вооружения | Потребители | Запасы | |||
| N1 | N2 | N3 | N4 | ||
| А1 | 4 | 10 | 11 | 7 | 30 |
| А2 | 5 | 3 | 6 | 8 | 60 |
| А3 | 2 | 1 | 12 | 9 | 10 |
| Потребности | 40 | 20 | 10 | 30 | 100 |
Данная задача является закрытой транспортной задачей, так как суммы потребностей и запасов равны 100.
Решение.
Найдем опорный план методом наименьшей стоимости