Математическая статистика (стр. 1 из 3)
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
ПО ДИСЦИПЛИНЕ
«Математическая статистика»
Задания к контрольной работе
1. Генеральная совокупность. Выборка. Объем выборки. Среднее значение. Дисперсия. Среднеквадратическое отклонение.
2. Найти коэффициент эластичности для указанной модели в заданной точке X. Сделать экономический вывод. Модель :
; X = 4;3. Для представленных данных выполнить следующее задание:
3.1 Провести эконометрический анализ линейной зависимости показателя от первого фактора. Сделать прогноз для любой точки из области прогноза, построить доверительную область. Найти коэффициент эластичности в точке прогноза.
3.2 Провести эконометрический анализ нелинейной зависимости показателя от второго фактора, воспользовавшись подсказкой. Сделать прогноз для любой точки из области прогноза, построить доверительную область. Найти коэффициент эластичности в точке прогноза.
3.3 Провести эконометрический анализ линейной зависимости показателя от двух факторов. Сделать точечный прогноз для любой точки из области прогноза. Найти частичные коэффициенты эластичности в точке прогноза.
Производительность труда, фондоотдача и уровень рентабельности по хлебозаводам области за год характеризуются следующими данными:
| № завода | Фактор | Уровень рентабельности, % | |
| Фондоотдача, грн | Производительность труда, грн | ||
| 1 | 38,9 | 3742 | 10,7 |
| 2 | 33,3 | 2983 | 11,3 |
| 3 | 37,7 | 3000 | 12,2 |
| 4 | 31,1 | 2537 | 12,4 |
| 5 | 29,4 | 2421 | 10,9 |
| 6 | 37,2 | 3047 | 11,3 |
| 7 | 35,6 | 3002 | 11,1 |
| 8 | 34,1 | 2887 | 14,0 |
| 9 | 16,1 | 2177 | 6,8 |
| 10 | 22,8 | 2141 | 7,1 |
| 11 | 21,7 | 2005 | 8,9 |
| 12 | 26,8 | 1843 | 4,2 |
| 13 | 23,3 | 2031 | 7,4 |
| 14 | 24,5 | 2340 | 11,4 |
| 15 | 19,9 | 1933 | 4,8 |
Нелинейную зависимость принять
1. Генеральная совокупность. Выборка. Объем выборки. Среднее значение. Дисперсия. Среднеквадратическое отклонение
Генеральная совокупность - вся изучаемая выборочным методом статистическая совокупность объектов и/или явлений общественной жизни, имеющих общие качественные признаки или количественные переменные.
Выборочная совокупность (выборка)- часть объектов из генеральной совокупности, отобранных для изучения, с тем чтобы сделать заключение о всей генеральной совокупности.
Для того, чтобы заключение, полученное путем изучения выборки , можно было распространить на всю генеральную совокупность выборка должна обладать свойством репрезентативности.
Объем выборки - общее число единиц наблюдения в выборочной совокупности. Определение объема выборки представляет собой один из основных этапов ее формирования. Объем выборки для генеральной совокупности обозначается– N, для выборки – n.
Среднее значение выборки можно вычислить по формуле:
Дисперсия (от лат. dispersio - рассеяние), в математической статистике и теории вероятностей, наиболее употребительная мера рассеивания, т. е. отклонения от среднего. Дисперсия вычисляется по формуле:
- простая дисперсия,
- взвешенная дисперсия.Дисперсия есть средняя величина квадратов отклонений. Для этого достаточно извлечь из дисперсии корень второй степени, получится среднее квадратическое отклонение (
). 
или
.Среднее квадратическое отклонение – это обобщающая характеристика размеров вариации признака в совокупности.
2. Найти коэффициент эластичности для указанной модели в заданной точке X. Сделать экономический анализ
Известно, что коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов изменится в среднем результат, если фактор изменится на 1 %. Формула расчета коэффициента эластичности:
Э = f′(x)X/Y,где f′(x) – первая производная, характеризующая соотношение прироста результата и фактора для соответствующей формы связи.
, 
.Следовательно получим следующее математическое выражение
.При заданном значении X=4 получим, что коэффициент эластичности равен Э=0,25.
Допустим, что заданная функция
определяет зависимость спроса от цены. В этом случае с ростом цены на 4% спрос повысится в среднем на 0,25 %. 3. Производительность труда, фондоотдача и уровень рентабельности по хлебозаводам области за год характеризуются следующими данными:
| № завода | Фактор | Уровень рентабельности, % | |
| Фондоотдача, грн | Производительность труда, грн | ||
| 1 | 38,9 | 3742 | 10,7 |
| 2 | 33,3 | 2983 | 11,3 |
| 3 | 37,7 | 3000 | 12,2 |
| 4 | 31,1 | 2537 | 12,4 |
| 5 | 29,4 | 2421 | 10,9 |
| 6 | 37,2 | 3047 | 11,3 |
| 7 | 35,6 | 3002 | 11,1 |
| 8 | 34,1 | 2887 | 14,0 |
| 9 | 16,1 | 2177 | 6,8 |
| 10 | 22,8 | 2141 | 7,1 |
| 11 | 21,7 | 2005 | 8,9 |
| 12 | 26,8 | 1843 | 4,2 |
| 13 | 23,3 | 2031 | 7,4 |
| 14 | 24,5 | 2340 | 11,4 |
| 15 | 19,9 | 1933 | 4,8 |
Нелинейную зависимость принять
Последовательность выполнения задания 3
1. Вводим данные .Определяем основные числовые характеристики.
2. Строим диаграмму рассеивания (корреляционное поле).
3. Определяем тесноту линейной связи по коэффициенту корреляции.
4. Строим линейную модель вида у = bо + b1*х.
5. Определяем общее качество модели по коэффициенту детерминации R2. Проверяем полученную модель на адекватность по критерию Фишера
6. Проверяем статистическую значимость коэффициентов модели.
7. По полученной модели рассчитываем значение показателя Y для всех точек выборки и в точке прогноза (точку прогноза выбираем произвольно из области прогноза).
8. Рассчитаем полуширину доверительного интервала d. =
9. Рассчитаем доверительный интервал для всех точек выборки и в точке прогноза: (Y-d, Y +d).
10. Рассчитываем коэффициент эластичности:
Для линейной модели y’х = b1. Получим 
, где у(х) - рассчитанное по модели значение показателя.11. Строим, используя «Мастер диаграмм», корреляционное поле, график эластичности и доверительную область.
12. Делаем лист с формулами.
Решение 1:
1. Вводим данные. Определяем основные статистики. Строим корреляционное поле. По виду корреляционного поля выдвигаем гипотезу о нелинейной зависимости между X и Y.
2. С помощью формул перехода линеаризуем нелинейную модель:
, V=у. Получаем линейную модель относительно новых переменныхV = b0 + b1u
3. Рассчитываем основные числовые характеристики X, Y, V, U с помощью «Мастера функций» и функции «Описательная статистика».
4. Продолжим регрессионный анализ с помощью вкладки «Анализ данных» и функции «Регрессия».
5. Вычислим значения V(U),V min, V max.
6. Рассчитаем полуширину доверительного интервала d .
7. По формулам обратного перехода пересчитываем значения Y, Ymin (левая граница доверительного интервала»,Ymaх(правая граница доверительного интервала).
8. Рассчитываем коэффициент эластичности
,9. Строим доверительные области V(U) и Y(х) и график эластичности.
10. Делаем лист с формулами.
Решение 2:
1. Вводим данные.
2. Определяем основные статистики.
3. По корреляционной таблице проверяем факторы на коллинеарность.
4. Строим линейную модель вида y = b0+b1х+b2х.
5. Определяем общее качество модели по коэффициенту детерминации R2. Проверяем полученную модель на адекватность по критерию Фишера.
6. Проверяем статистическую значимость коэффициентов модели.
7. По полученной модели рассчитываем значения показателя Y для всех точек выборки и в точке прогноза(точку прогноза выбрали произвольно из области прогноза).