Математическая статистика (стр. 2 из 3)

8. Рассчитываем частичные коэффициенты эластичности:

- по фактору X1

- по фактору Х2

4. Экономический анализ

Обозначим Фондоотдачу (грн.) – Х, Уровень рентабельности (%) – Y. Найдем основные числовые характеристики.

Объем выборки n=15 ‑ суммарное количество наблюдений.

Фондоотдача изменяется от 16,1 до 38,9 грн., уровень рентабельности изменяется от 4,2 до 14%.

Среднее значение фондоотдачи составляет 28,83 грн, среднее значение уровня рентабельности составляет 9,63%.

Среднее значение можно вычислить по формуле:

.

Дисперсия

.

Среднеквадратическое отклонение

7,23, значит среднее отклонение фондоотдачи от среднего значения, составляет 7,23 грн., 2,92, значит среднее отклонение уровня рентабельности от среднего значения, составляет 2,92%.

Определим, связаны ли X и У между собой, и, если да, то определить формулу связи.

По таблице строим корреляционное поле (диаграмму рассеивания) - нанесем точки (X, Y) на график. Точка с координатами (

) =(28,83;9.63) называется центром рассеяния.

По виду корреляционного поля можно предположить, что зависимость между Y и X линейная.

Для определения тесноты линейной связи найдем коэффициент корреляции (из таблицы регрессионная статистика):

.

Так как

, то линейная связь между X и Y достаточная.

Пытаемся описать связь между X и Y зависимостью

.

Параметры

находим по методу наименьших квадратов.

Так как

, то зависимость между X и Y прямая: с ростом фондоотдачи уровень рентабельности повышается. Проверим значимость коэффициентов .

Значимость коэффициента может быть проверена с помощью критерия Стьюдента:

.

Значимость

равна . Это меньше 5%. Коэффициент статистически значим.

.

Значимость

равна , что практически равно 0%. Это меньше 5%. Коэффициент статистически значим.

Проверим модель на адекватность. Проанализировав таблицу Дисперсионный анализ можно сказать, разброс данных, объясняемый регрессией

. Остатки, необъясненный разброс . Общий разброс данных . Коэффициент детерминации . Разброс данных объясняется на 50,49% линейной моделью и на 49,51% - случайными ошибками.

Проверим модель с помощью критерия Фишера. Для проверки найдем величины:

и . Вычисляем и . Находим наблюдаемое значение критерия Фишера . Значимость этого критерия , т.е. процент ошибки практически равен 0%, что меньше чем 5%. Модель считается адекватной с гарантией более 95%.

Найдем прогноз.

Примем за точку прогноза значение фондоотдачи 33 грн.

Рассчитываем прогнозные значения по модели для всех точек выборки и для точки прогноза:

.

Построим доверительную область для точки прогноза и всех точек.

Найдем полуширину доверительного интервала в каждой точке выборки:

,

где

- среднеквадратическое отклонение выборочных точек от линии регрессии; ;

‑ критическая точка распределения Стьюдента для надежности и ; .

Прогнозируемый доверительный интервал для любого x такой

, где , т.е. доверительный интервал для составит от 6,0157 до 15,6503 с гарантией 95%., т.е. при фондоотдаче 33 грн. Уровень рентабельности составит от 6,0157% до 15,6503%.

Найдем эластичность.

Для линейной модели

Коэффициент эластичности показывает, что при изменении фондоотдачи на 1% уровень рентабельности увеличится с 10,83% на 0,876%. Т.е. при увеличении фондоотдачи рентабельность растет.

Задание № 3.2

Обозначим производительность труда в расчете на одного работника (грн.) – Х, Уровень рентабельности (%) – Y. Построим нелинейную зависимость показателя от фактора вида

. Проанализируем фактор X, используя таблицу описательная статистика.

Производительность труда в расчете на одного работника изменяется от 1843 до 3742 грн. Средняя производительность составляет 2535,27 грн. Отклонение от среднего составляет 546,96.

Определим, связаны ли X и У между собой, и, если да, то определить формулу связи.

По таблице строим корреляционное поле (диаграмму рассеивания) - нанесем точки (X, Y) на график.

По виду корреляционного поля можно предположить, что зависимость между Y и X нелинейная.

Пытаемся описать связь между X и Y зависимостью

.

Перейдем к линейной модели. Делаем линеаризующую подстановку:

. Получим новые данные U и V. Для этих данных строим линейную модель: . Проверим тесноту линейной связи U и V. Найдем коэффициент корреляции (из таблицы Регрессионная статистика): .Между U и V достаточная связь.

Параметры

находим по методу наименьших квадратов.

Значимость коэффициента может быть проверена с помощью критерия Стьюдента:

.

Значимость

равна 0,0021, что практически равно 0%. Это меньше 5%. Коэффициент статистически значим.

.

Значимость

равна0,00083, что практически равно 0%. Это меньше 5%. Коэффициент статистически значим.

Получили линейную модель

.

Проверим модель на адекватность. Проанализировав таблицу дисперсионный анализ можно сказать, разброс данных, объясняемый регрессией

. Остатки, необъясненный разброс . Общий разброс данных . Коэффициент детерминации . Разброс данных объясняется на 59,92% линейной моделью и на 40,08% - случайными ошибками.