Математическая модель экономики посредников (стр. 2 из 4)
Для получения решения уравнений в явном виде, подставим в них простейшие функции спроса и предложения в виде: D(p)=max(d0-d1p,0), C(x)=c1x. Мы получим:
Тогда величина сбора легальных налогов составит:
Объем нелегальных налогов будет равен:
Следует отметить тот факт, что в приведенной модели предприятие платит налоги либо только государству, либо только криминальным структурам. По всей видимости, это объясняется тем, что функция полезности менеджмента предприятия моделируется линейной комбинацией прибыли предприятия и посредника. В реальности это условие, вероятно, не соблюдается, поэтому часть деятельности предприятия осуществляется легально, а часть – нелегально. Введение нелинейной функции полезности усложнило бы математические выкладки, не приведя к принципиально новым результатом, поэтому в рамках данной модели факт сбора налогов как криминальными структурами, так и государством объясняется различием в значении параметра у менеджмента различных предприятий. Те предприятия, у менеджмента которых с/(с+l), платят налоги государству, а те, у которых <с/(с+l), платят налоги криминальным структурам.
Теперь вычислим суммарный сбор налогов со всех предприятий. Для этого необходимо подобрать плотность распределения dW() на интервале от 0 до 1. К сожалению, оценка реальных вида распределения и параметров этого распределения невозможна, в виду отсутствия статистических данных. В рамках данной модели в целях упрощения можно предположить, что все предприятия имеют одинаковые параметры c1, d0 и d1. В качестве плотности распределения dW() возьмем функцию вида:
В формуле введено обозначение: - параметр, характеризующий среднюю заинтересованность менеджмента в прибыли своих предприятий и связанный с ней соотношениями:
Введеная таким образом плотность распределения a непрерывно дифференцируема на интервале (0;1) и стремится к 0 на его границах, что соответствует интуитивным предпосылкам Она позволяет варьировать степень средней заинтересованности менеджмента предприятий в результатах их деятельности, и удобна для интегрирования.
После выбора плотности распределения a можно получить значения суммарного сбора налогов государством, криминальными структурами, суммарных объемов производства в легальном секторе экономики, суммарных объемов производства в теневом секторе экономики, суммарных прибылей предприятий легального сектора, суммарных прибылей посредников и суммарных убытков предприятий, торгующих через посредников (что в рамках данной модели трактуется как объем неплатежей в экономике. Также можно рассчитать средние уровени цен в легальном секторе, теневом секторе и в целом по экономике. Однако формулы получаются чрезвычайно громоздкими, поэтому ниже будут приведены их графики. Вычислив в явном виде вышеназванные величины, можно приступить к исследованию модели. Исходная гипотеза заключается в том, что коррумпированный бюрократический аппарат сросся с криминальными структурами, поэтому бюрократы непосредственно устанавливают такой уровень теневых налоговых ставок и лоббируют установление такого уровня официальных налоговых ставок, чтобы максимизировать свою целевую функцию вида Tl+(1-)Tс, где параметр характеризует степень заинтересованности бюрократического аппарата в пополнении бюджета. С формальной точки зрения, необходимо найти максимум этой функции по параметрам l и c. Поскольку затруднительно найти аналитическое выражение для l и c, соответствующих максимуму целевой функции бюрократического аппарата, в представленной модели он ищется численно.
Полученные в модели формулы громоздки и сложны для анализа, поэтому представим их графики.
На рисунке 1 изображены поверхности Лаффера, характеризующие зависимость сбора налогов от значений ставок легальных и теневых налогов, отложенных в горизонтальной плоскости. На левом верхнем рисунке изображена кривая зависимости легальных налоговых сборов от доли дохода, оставляемого в распоряжении фирмы легальными и нелегальными структурами (tl и tc соответственно). При каждой фиксированной величине tс мы получаем известную в макроэкономике кривую Лаффера: по мере увеличения ставки налога (уменьшения tl) налоговые сборы сначала растут, а затем начинают падать из-за ухода в теневой сектор и свертывания производства. При величине tl<c1d1/d0 легальное производство полностью прекращается, так как производители вынуждены устанавливать такие цены, что спрос на их продукцию падает до 0. При меньшей величине нелегального налогообложения (большей величине tс) высота соответствующей кривой Лаффера ниже: большее количество предприятий уходят в теневой сектор из-за возрастания выгодности правонарушений. Поэтому при каждой фиксированной величине tl по мере возрастания tс собираемость налогов снижается. Левый нижний рисунок отражает ситуацию со сбором нелегальных теневых налогов, которая является инверсной по отношению к ситуации в легальном секторе: при фиксированной легальной ставке налога наблюдается эффект Лаффера в зависимости от значения нелегальной ставки, а при уменьшении налогообложения в легальном секторе и сохранении нелегальной ставки на том же уровне, собираемость нелегальных налогов падает. На правом рисунке изображена целевая функция бюрократического аппарата, которая в данной модели в целях упрощения представляет линейную комбинацию легальных и нелегальных сборов, взвешенных с весами b и 1-b соответственно. Белыми полосами отмечено множество недоминируемых альтернатив между сбором легальных и теневых налогов. Оно представляет множество таких комбинаций налоговых ставок, для каждой из которых невозможно увеличить собираемость одного из видов налогов, не уменьшив собираемости другого. При принятии решения о установлении налоговых ставок рационально действующий аппарат будет принимать во внимание только альтернативы из этого множества.
На рисунке 1а изображено множество всех возможных значений налоговых сборов, его внешняя граница, являющаяся множеством недоминируемых альтернатив, и наивысшая из достижимых линий уровня функции полезности чиновничьего аппарата. Точка пересечения этой линии уровня (являющейся в данной модели прямой линией) с множеством недоминируемых альтернатив, отмеченная на всех рисунках в виде белого квадратика, является решением задачи. Наклон прямой определяется коэффициентом и характеризует степень заинтересованности чиновничьего аппарата в сборе легальных налогов по сравнению со сбором теневых налогов.
На рисунке 2 изображены объемы легального, теневого производства и общий объем производства в зависимости от уровня легальных и теневых налоговых ставок. На этих рисунках видно, что при возрастании налоговых ставок объем производства падает, причем при возрастании легальных налоговых ставок производство частично перетекает в теневой сектор, и наоборот. Это соответствует реальной ситуации, когда чрезмерное налогообложение законопослушных производителей душит производство. Интересно отметить, что даже при нулевом уровне легальных налоговых ставок существует теневое производство. Этот факт демонстрирует недостаточность снижения легальных налогов для борьбы с теневым сектором. Необходимо проводить комплексную политику, заключающуюся в снижении легальных налоговых ставок и одновременном увеличении трансакционных издержек нахождения в теневом секторе. В рамках данной модели это будет интерпретироваться как одновременное увеличение l и снижение c, однако в этом случае изымаемая часть криминальной прибыли пойдет не на увеличение доходов коррумпированных бюрократов, а на предварительную моральную компенсацию риска поимки для правонарушителя.
На рисунке 3 изображены средние уровни цен. Верхний левый рисунок демонстрирует зависимость среднего уровня цен в легальном секторе от налоговых ставок. При значении l=c1d1/d0 цены достигают того уровня, когда спрос в легальном становится равным 0, поэтому автор принял, что при дальнейшем повышении налогов цены остаются на этом уровне. На нижнем левом рисунке изображены средние цены в теневом секторе, а на правом – общий уровень цен. Мы можем видеть, что увеличение налогообложения существенным образом способствует взвинчиванию цен, из-за чего страдают потребители. Полученные результаты соответствуют заявлениям о том, что в российской экономике цены на многие товары существенно завышены.