Донбаський Державний Технічний Університет
Кафедра фізики і прикладної математики
Контрольна робота з математики
«Лінійна балансова модель і її використання в економічних розрахунках»
Балансова модель
Вивчення балансових моделей, що є один з найважливіших напрямів і економіко-математичних досліджень, повинне служити об'єктом вивчення окремої дисципліни. Наша мета – проілюструвати на прикладі балансових розрахунків застосування основних понять лінійної алгебри.
Лінійна балансова модель
Хай розглядається економічна система, що складається з n взаємозв'язаних галузей виробництва. Продукція кожної галузі частково йде на зовнішнє споживання (кінцевий продукт), а частково використовується як сировина, напівфабрикати або інші засоби виробництва в інших галузях, у тому числі і в даній. Цю частину продукції називають виробничим споживанням. Тому кожна з даних галузей виступає і як виробник продукції (перший стовпець таблиці 1) і як її споживач (перший рядок таблиці 1).
Позначимо через xi валовий випуск продукції i-й галузі за планований період і через yi – кінцевий продукт, що йде на зовнішнє для даної системи споживання (засоби виробництва інших економічних систем, споживання населення, утворення запасів і так далі).
Таким чином, різниця xi – yi складає частину продукції i-й галузі, призначену для внутрішньовиробничого споживання. Надалі вважатимемо, що баланс складається не в натуральному, а у вартісному розрізі.
Позначимо через xik частину продукції i-й галузі, яка споживається к-й галуззю, для забезпечення випуску її продукції у розмірі хk.
Одне із завдань балансових досліджень полягає в тому, щоб на базі даних об виконання балансу за попередній період визначити початкові дані на планований період.
Забезпечуватимемо штрихом (х’ik, y’i і так далі) дані, що відносяться до минулого періоду, а тими ж буквами, але без штриха – аналогічні дані, пов'язані з планованим періодом. Балансова рівність (1) повинна виконуватися як в минулому, так і в планованому періоді.
Називатимемо сукупність значень y1, y2., yn, що характеризують випуск кінцевого продукту, асортиментним вектором:
_
у = (у1, у2., yn), (2)
а сукупність значень x1, x2., xn, определяющих валовий випуск всіх галузей – вектор-планом:
_
x = (x1, x2., xn). (3)
Залежність між двома цими векторами визначається балансовою рівністю (1). Проте вони не дають можливості визначити по заданому, наприклад, вектор у необхідний для його забезпечення вектор-план х, оскільки окрім шуканих невідомих хk, містять n2 невідомих xik, які у свою чергу залежать від xk.
Тому перетворимо цю рівність. Розрахуємо величини aik із співвідношень:
xik
aik = – (i, до = 1, 2., n).
xk
Величини aik називаються коефіцієнтами прямих витрат або технологічними коефіцієнтами. Вони визначають витрати продукций i-й галузі, використовувані к-й галуззю на виготовлення її продукції, і залежать головним чином від технології виробництва в цій к-й галузі. З деяким наближенням можна вважати, що коефіцієнти aik постійні в деякому проміжку часу, що охоплює як минулий, так і планований період, тобто, що
x’ik xik
– = – = aik = const (4)
x’k xk
Виходячи з цього пропозиції маємо
xik = aikxk (5)
тобто витрати i-й галузі в к-ю галузь пропорційні її валовому випуску, або, іншими словами, залежать лінійно від валового випуску xk. Тому рівність (5) називають умовою лінійності прямих витрат.
Розрахувавши коефіцієнти прямих витрат aik по формулі (4), використовуючи дані про виконання балансу за попередній період або визначивши їх іншим чином, отримаємо матрицю
a11 a12. a1k. a1n
a21 a22. a2k. a2n
A=…….
ai1 ai2. aik. ain
an1 an2. ank. ann
яку називають матрицею витрат. Відмітимо, що всі елементи aik цієї матриці ненегативні. Це записують скорочено у вигляді матричної нерівності А>0 і називають таку матрицю ненегативної.
Завданням матриці А визначаються всі внутрішні взаємозв'язки між виробництвом і споживанням, табл. 1, що характеризуються
Підставляючи значення xik = aik = xk у всі рівняння системи (1), отримаємо лінійну балансову модель:
x1 – (a11x1 + a12x2 +. + a1nxn) = y1
x2 – (a21x1 + a22x2 +. + a2nxn) = y2 (6)
………….
xn – (an1x1 + an2x2 +. + annxn) = yn
що характеризує баланс витрат – випуску продукції, представлений в табл. 1
Система рівнянь (6) може бути записана компактнее, якщо використовувати матричну форму запису рівнянь:
_ _ _
Ех · – Ах = ·У, або остаточно
_ _
(Е – А)·х = У (6')·'
де Е – одинична матриця n-го порядку і
1-a11 – a12. – a1n
E – A= – a21 1-a22. – a2n
…….
– an1 – an2. 1-ann
Рівняння (6) містять 2n змінних (xi і yi). Тому, задавшись значеннями n змінних, можна з системи (6) знайти решту n – змінних.
Виходитимемо із заданого асортиментного вектора У = (y1, y2., yn) і визначати необхідний для його виробництва вектор-план Х = (х1, х2. хn).
Проілюструємо вищевикладене на прикладі гранично спрощеної системи, що складається з двох виробничих галузей.
Розраховуємо за даними цієї таблиці коефіцієнти прямих витрат:
100 160 275 40
а11 = – = 0.2; а12 = – = 0.4; а21 = – = 0.55; а22 = – = 0.1
500 400 500 400
Ці коефіцієнти записані в табл. 2 в кутах відповідних кліток.
Тепер може бути записана балансова модель (6), відповідна даним табл. 2
х1 – 0.2х1 – 0.4х2 = у1
х2 – 0.55х1 – 0.1х2 = у2
Ця система двох рівнянь може бути використана для визначення х1 і х2 при заданих значеннях у1 і у2, для використання впливу на валовий випуск будь-яких змін в асортименті кінцевого продукту і так далі
Так, наприклад, задавшись у1=240 і у2=85, отримаємо х1=500 і х2=400, задавшись у1=480 і у2=170, отримаємо х1=1000 і х2=800 і так далі
Вирішення балансових рівнянь за допомогою зворотної матриці. Коефіцієнти повних витрат
Повернемося знову до розгляду балансового рівняння (6).
Перше питання, яке виникає при його дослідження, це питання об існування при заданому векторі У>0 ненегативного вирішення х>0, тобто про існування вектор-плану, що забезпечує даний асортимент кінцевого продукту У. Будем називати таке вирішення рівняння (6') допустимим рішенням.
Відмітимо, що при будь-якій ненегативній матриці А затверджувати існування ненегативного рішення не можна.
Так, наприклад, якщо
0.9 0.8 0.1 -0.8 і рівняння (6')'
А=, то Е – А =
0.6 0.9 -0.6 0.1
запишеться у вигляді 0.1 -0.8 х1 у1 або в розгорненій формі
-0.6 0.1 х2 у2
0.1х1 – 0.8х2 = у1 (a)a
-0.6х1 + 0.1х2 = у2
Склавши ці два рівняння почленно, отримаємо рівняння
-0.5х1 – 0.7х2 = у1 + у2
яке не може задовольнятися ненегативним значенням х1 і х2, якщо тільки у1>0 і у2>0 (окрім х1=х2=0 при у1=у2=0).
Нарешті рівняння взагалі може не мати рішень (система (6) – несумісна) або мати незліченну безліч рішень (система (6) – невизначена).
Наступна теорема, доказ якої ми опускаємо, дає відповідь на поставлене питання.
Теорема. Якщо існує хоч один ненегативний вектор х>0, що задовольняє нерівності (Е – А)·х>0, тобто якщо рівняння (6') має ненегативне вирішення x>0, хоч би для одного У>0, то воно має для будь-якого У>0 єдине ненегативне рішення.
При цьому виявляється, що зворотна матриця (Е – А) буде обов'язково ненегативною.
Із способу утворення матриці витрат виходить, що для попереднього періоду виконується рівність (Е – А)·х' = У', де вектор-план х 'і асортиментний вектор У 'визначаються по виконаному балансу за минулий період, при цьому У>0'. Таким чином, рівняння (6') має одне ненегативне вирішення x>0. На підставі теореми укладаємо, що рівняння (6') завжди має допустимий план і матриця (Е – А) має зворотну матрицю.
Позначивши зворотну матрицю (Е – А)-1 через S = || sik+ ||, запишемо вирішення рівняння (6'') у вигляді
_ _
х = SУ (·7)
Якщо буде заданий вектор – кінцевий продукт У і обчислена матриця S = (E – A)-1, то по цій формулі може бути визначений вектор-план х.
Рішення (7) можна представити в розгорненій формі:
x1 = S11y1 + S12y2 +. + S1nyn
x2 = S21y1 + S22y2 +. + S2nyn (8)
…………
xn = Sn1y1 + Sn2y2 +. + Snnyn
Повні внутрішньовиробничі витрати
З'ясуємо економічний сенс елементів Sik матриці S.
Хай проводиться тільки одиниця кінцевого продукту 1-ої галузі, тобто
1
_ 0
У1 =
0
Підставляючи цей вектор в рівність (7), отримаємо
1 S11
_ 0 S21 _
х = S: =: = S1
0 Sn1 0
_ 1
задавшись асортиментним вектором У2 = 0, отримаємо
:
0
0 S12
_ 1 S22 _
х = S: =: = S2
0 Sn2
Аналогічно, валовий випуск х, необхідний для виробництва одиниці кінцевого продукту к-й галузі, складе
0 S1k
_: S2k _
х = S 1 =: = Sk (9)
: Snk
0
тобто к-й стовпець матриці S.
З рівності (9) витікає наступне:
Щоб випустити тільки одиницю кінцевого продукту к-й галузі, необхідно в 1-ій галузі випустити х1=S1k, в 2-ій х2=S2k і так далі, в i-й галузі випустити xi=Sik і, нарешті, в n-й галузі випустити xn=Snk одиниць продукції.
Так при цьому виді кінцевого продукту виробництва тільки одиниця к-го продукту, то величини S1k, S2k., Sik., Snk, є коефіцієнти повних витрат продукції 1-й, 2-й і так далі, n-й галузей вказаної одиниці к-го продукту, що йде на виготовлення. Ми вже ввели раннє коефіцієнти прямих витрат a1k, a2k., aik., ank на одиницю продукції к-й галузі, які враховували лише ту частину продукції кожної галузі, яка споживається безпосередньо к-й галуззю. Але, очевидно, необхідно забезпечити замкнутий виробничий цикл. Якби продукція i-й галузі поступала б тільки в к-ю галузь в кількості aik, те виробництво к-й галузі все одно не було б забезпечено, бо було потрібно ще продукти 1-ої галузі (a1k), 2-ій галузі (a2k) і так далі А вони у свою чергу не зможуть працювати, якщо не отримуватимуть продукцію тієї ж i-й галузі (ai1, ai2. і так далі). Проілюструємо сказане на прикладі табл. 2