Конечные разности. Погрешности (стр. 1 из 2)
Реферат
«Конечные разности. Погрешности»
1. Погрешности
1.1 Действительные и конечно-разрядные числа
Представление действительных чисел в вычислительных машинах с фиксированной разрядной сеткой влечет появление инструментальной погрешности в обрабатываемых числах и результатах арифметических действий.
Принятое при вводе преобразование исходных действительных чисел в нормализованную экспоненциальную форму и размещение их в ограниченной разрядной сетке ЭВМ с порядком и дробной частью (мантиссой) в общем случае вносит в этот операнд относительную инструментальную погрешность, величина которой не превышает
где n – число значащих дробных двоичных разрядов, отведенных для хранения мантиссы.
Приближенное конечно-разрядное число a – это действительное число, занимающее заданное количество разрядов и округленное до числа с ближайшим значением достоверного младшего разряда. Приближенные действительные числа имеют абсолютную
и относительную 
погрешности. Эти погрешности при анализе распространения ошибки при вычислениях приписываются к приближенному числу результата и связываются между собой следующим образом: 
Если число a = 5,3812 имеет все разряды достоверные, то его абсолютная погрешность принимается равной половине единицы младшего разряда, т.е.
=0.00005, а относительная погрешность, округляемая обычно до одного-двух значащих достоверных разрядов, будет 
Всякие арифметические операции с операндами, представленными в системе с плавающей точкой, в общем случае вносят в результат аналогичную относительную инструментальную погрешность:
где fl(•) – указание на арифметику с плавающей точкой,
– арифметическая операция из множества 
.Значение результата, равное нулю принудительно устанавливается в машинах при операциях умножения с двумя операндами, приводящее к исчезновению порядка (отрицательный порядок по модулю не умещается на отведенном для него количестве разрядов).
Несколько иначе обстоит дело при вычитании чисел с плавающей точкой и одинаковым порядком:
, 
.Из последнего можно заключить, что для операции вычитания относительная погрешность численно определяется количеством значащих разрядов в результате, которое из-за выполнения нормализации не может быть меньше
. Т.е. погрешность приближается к 100% последовательно. Это предупреждение адресуется составителям вычислительных алгоритмов, которым необходимо выискивать эквивалентные формулы с контролем величины операндов, в определенных ситуациях можно использовать программный переход к вычислениям с удвоенной точностью.При выполнении аддитивных операций с приближенными операндами погрешность результата равна сумме абсолютных погрешностей всех чисел, участвовавших в операции. Выполнение мультипликативных операций вносит в результат относительную погрешность, равную сумме относительных погрешностей каждого из операндов.
1.2 Погрешность алгоритмов
Инструментальные погрешности арифметических машинных команд из-за различия и непредсказуемости величины ошибки результата нарушают дистрибутивный, ассоциативный и коммутативный законы арифметики. Каждый же программист, составляя программу, уже на уровне интуиции пользуется ими, как незыблемыми. Отсюда различие в точности тех или иных вычислительных алгоритмов и трудно уловимые ошибки.
Проследить накопление вычислительной погрешности алгоритма для операндов, которые имеют производные, удобно, если результат r каждой двуместной арифметической операции умножать на множитель
с последующим разложением результирующей функции алгоритма по степеням этого множителя или этих множителей, если 
в группах операторов отличаются по величине. Например, для алгоритма вычисления значения полинома 
третьей степени по схеме Горнера с псевдокодом:P:=0; j:=3;
repeat
S:=a[j]*x+a [j-1];
P:=P+S*x;
j:=j-1;
until j=1;
функция алгоритма будет:
Учитывая, что
, последнее выражение дает возможность после раскрытия скобок выделить из суммы и оценить сначала абсолютную погрешность, а по абсолютной погрешности – относительную: 
Условные арифметические операторы с проверкой равенства операндов необходимо заменять проверкой вида:
. 2. Конечные разности
2.1 Определение конечных разностей
Конечная разность «вперед» для таблично заданной функции в i-той точке определяется выражением:
, где функция 
задана, как функция целочисленного аргумента с единичным шагом по аргументу i.Для аналитически заданной и протабулированной с постоянным шагом h функции
определяющее соотношение имеет вид: 
.Преобразование таблицы функции
в функцию целочисленного аргумента 
осуществляют при помощи линейного соотношения между аргументами x и i: 
.Коэффициенты a и b находят из системы уравнений, получаемой в результате подстановки в пределах заданной таблицы вместо x и i сначала начальных значений аргументов
, а затем конечных 
. При этом начало таблицы удобно совместить с началом координат функции с целочисленным аргументом 
( 
). Тогда для таблицы с (n+1) – й строками: 
, 
Повторные конечные разности n-го порядка в i-той точке для табличной функции
определяются соотношением
.2.2 Конечно-разностные операторы
Линейность конечно-разностного оператора
позволяет ввести конечно-разностный оператор сдвига 
и многочлены от оператора с целыми коэффициентами, такие, как 
, где 
должно рассматриваться как оператор повторной разности k-того порядка.Действие любого многочлена
на функцию g(i) определяется как 
.Применение оператора сдвига к g(i) преобразует последнее в g (i+1):
g (i+1) = E g(i) = (1+
) g(i)= g(i) + g(i).Повторное применение оператора сдвига позволяет выразить (i+n) – е значение ординаты функции g через конечные разности различных порядков:
где
– число сочетаний из n элементов по k; 
– многочлен степени k от целой переменной n ( 
), имеющий k сомножителей. При k=n 
.