Стандартна задача лінійного програмування (стр. 2 из 8)

(9a)

Зрозуміло, що

(10)

В даному випадку можна сформулювати дві взаємозв'язаних задачі математичного програмування протилежного змісту.

Перша задача: при заданому об'ємі загальних витрат на виробництво продукції w=const , тобто при заданих асигнуваннях максимізувати випуск продукції z→max.

Друга задача: при заданому об'ємі виробництва даної продукції z=const мінімізувати величину загальних витрат на її виробництво w→min.

Цільовою функцією першої задачі є функція (9), а обмеженнями — співвідношення (8), (10); для другої задачі цільовою функцією являється функція (їло), а обмеженнями - співвідношення (9), (10).

Задача оптимізації розмірів закуповуваних партій товарів. Припустимо, що деякій організації на плановий період необхідні певні матеріали в об'ємах

. Ці матеріали витрачаються рівномірно в часі і зберігаються на одному складі, місткістю об'ємних одиниць, причому , так що одночасно розмістити на складі всі матеріали неможливо і необхідно провести кілька закупок цих матеріалів партіями по об'ємних одиниць кожного -го товару .

Вартість зберігання на складі об'ємної одиниці

-го матеріалу дорівнює , так що зберігання одиниць товару протягом часу його використання коштуватиме . Припустимо, що вартість кожної закупки -го матеріалу не залежить від розміру партії x_j і дорівнює s_j. Необхідно визначити оптимальні розміри закуповуваних партій так, щоб мінімізувати загальні витрати на зберігання і закупку матеріалів. Отже, цільова функція задачі

(11)

при умові, що сумарний об'єм закуповуваних партій не перевищить місткості складу

(12)

Очевидно,

(13)

Задача про режим роботи енергосистеми. В якості приклада задачі опуклого програмування розглянемо простішу задачу про оптимальне ведення режиму роботи енергосистеми.

Розглядається ізольована енергосистема, яка складається з теплоелектростанцій, зв'язаних лініями передач з вузлом, в якому зосереджене навантаження. Ставиться задача розподілу активних потужностей між електростанціями у заданий момент часу. Розподіл здійснюється за критерієм мінімізації сумарних паливних витрат на генерацію активної потужності.

Позначимо через, x_j активну потужність, яка генерується на j-й електростанції. Потужності x_j лежать у межах, які визначаються технічними умовами:

. Крім того, повинно виконуватись умова балансу потужностей, тобто загальна потужність, що генерується, повинна відповідати потужності Р, яка споживається, з урахуванням загальних втрат у лініях передач:

Втрати палива на генерацію потужності x_j являють собою функцію

, яка опукла на відрізку Таким чином, задача приймає вигляд:

(14)

при умовах

(15)

(16)

Побудована модель є типовою задачею опуклого програмування з лінійними обмеженнями. Розв'язок цієї задачі дає вельми грубе наближення до дійсно оптимального режиму роботи енергосистеми. У реальній ситуації не можна вважати все навантаження зосередженим в одному вузлі, а слід розглядати п вузлів. Крім того, втрати в системі, природно не є сталими, а залежать від параметрів ліній передач та величин потужностей, що передаються.

В якості наступного наближення можна розглядати задачу, в якій π є білінійною функцією

, де параметри управління x_y означають кількість активної потужності, яка передається з j-й електростанції у i-й вузол.

Очевидно, що в цієї нової моделі умови будуть містити нелінійності (π (x_y.) в рівнянні балансу).

Задача про розміщення. Ця простіша задача про розміщення є прикладом багатоекстремальної задачі.

Є т можливих пунктів виробництва, причому відома для кожного i-го пункту залежність вартості виробництва f_i від об'єму виробництва x_i (передбачається, що у вартість виробництва

включені капітальні витрати). Дані пунктів споживання із заданим об'ємом споживання b_j у кожному пункті. Нарешті, задана матриця транспортних витрат ( ) ( - вартість перевезення одиниці продукції з i-го пункту виробництва в j-й пункт споживання). Необхідно знайти такі об'єми виробництва , які мінімізують сумарні витрати; інакше кажучи, шукається

(17)

при умовах

(18)

(19)

Оскільки собівартість одиниці продукції звичайно спадає при збільшені об'єму виробництва, то функції f_i (y_i), як правило, монотонно зростають і опуклі вгору. Множина значень x_ij, що задовольняє обмеження задачі, утворює опуклий многокутник, вершини якого є точками локальних мінімумів функції l(x_ij) (рис. 1).

Рис. 1. Звідси й назва подібних задач - багатоекстремальні.

Доцільно зазначити, що за своїм реальним змістом більшість задач математичного програмування є задачами або мінімізації витрат ресурсів на виробництво заданих кількостей продукції, або ж максимізації випуску продукції (прибутку) при заданих обмежених кількостях ресурсів.

2. Дві стандартні форми задач лінійного програмування

Загальна форма задачі лінійного програмування (3.1) - (3.6) не придатна для побудови досить простих і ефективних методів розв'язування її, причиною чого е неоднорідність системи умов (3.2) -(3.6). Тому, як правило, задачу зводять до стандартної форми.

В залежності від методів, які застосовуються, розрізняють дві стандартні форми:

основна задача лінійного програмування з обмеженнями-рівностями або перша стандартна форма;

основна задача лінійного програмування з обмеженнями-нерівностями або друга стандартна форма.

Формулювання основної задачі лінійного програмування у першій стандартній формі полягає в наступному: серед усіх невід'ємних розв'язків системи основних обмежень-рівнянь знайти такий, при якому цільова функція набуває найбільшого або найменшого значення:

(21)

(22)

(23)

Або у короткому запису

(21а)

(22а)

Основна задача лінійного програмування може бути також записана у скалярно-векторній, матричній і векторній формах, якщо скористатись позначеннями:

Тут

— вектор-стовпець змінних, — вектор-стовпець вільних членів, А — матриця системи основних обмежень, - вектор-стовпець матриці А; — вектор-рядок коефіцієнтів цільової функції, - вектор-рядок матриці А.