Лінійна модель виробництва (стр. 2 из 4)

, .(3)

Отже, валова продукція визначається як сума кінцевої й проміжної продукції.

Одиниці виміру всіх зазначених величин можуть бути натуральними або вартісними, залежно від чого розрізняють натуральний і вартісний міжгалузевий баланс.

Якщо всі елементи

-го стовпця таблиці 1 розділити на , то число розумітимемо як обсяг продукції -ї галузі, необхідний для виробництва однієї одиниці продукту -ї галузі. Числа , характеризують технологію -ї галузі у звітний період і звуться коефіцієнтами прямих витрат -ї галузі. Під розумітимемо частку продукції -ї галузі, витрачену на невиробниче споживання. Основним елементом схеми міжгалузевого балансу є квадратна матриця , яку називають матрицею коефіцієнтів прямих витрат.

Першим допущенням даної схеми є те, що сформована технологія виробництва є незмінною протягом деякого проміжку часу. Друге допущення полягає в тому, що для виробництва

одиниць продукції галузі необхідно затратити одиниць галузі , тобто передбачається, що витрати прямо пропорційні випуску (є лінійно однорідною функцією випуску).

Під час виробництва набору продукції

витрати продукції -ї галузі складуть у цьому випадку величину

.(4)

Переходячи до матричних позначень, стверджуємо, що вектор виробничих витрат дорівнює

. Якщо – вектор кінцевих споживань, тоді валова продукція -ї галузі дорівнює

, (5)

або в матричній формі

. (6)

Систему рівнянь (6) називають моделлю міжгалузевого балансу або моделлю Леонтьєва. Дана модель пов'язує обсяги валових випусків з обсягами кінцевої продукції й може бути використана для розрахунку цих величин. Наприклад, якщо відомий набір можливих при даних ресурсах випусків

, то система (6) дозволить розрахувати набір відповідних значень . Якщо спочатку відомий бажаний набір кінцевої продукції, то за допомогою моделі (6) можна визначити необхідні для його забезпечення обсяги валового випуску по галузі, тобто

(7)

при заданій матриці

.

3. Розв’язок моделі Леонтьєва

За економічними міркуваннями всі коефіцієнти матриці

невід’ємні: , . У цьому випадку говорять, що матриця невід’ємна й записують . Невід’ємні компоненти заданого вектора або .

Розв’язок, який має бути знайдений, за змістом також повинний мати тільки невід’ємні компоненти, тобто потрібне виконання нерівностей

або . Можливість одержання невід’ємного розв’язку визначається властивостями матриці .

Матриця

називається продуктивною, якщо існують два вектори і , такі, що .

Продуктивність матриці

означає, що виробнича система здатна забезпечити деякий позитивний кінцевий випуск за всіма продуктами.

Розглянемо умови продуктивності матриці

:

1) послідовні головні мінори матриці

позитивні, тобто для кожного виконана нерівність

;

2) матриця

невід’ємно зворотна, це означає , що існує зворотна матриця й всі її елементи невід’ємні: