Теоретические основы математических и инструментальных методов экономики (стр. 6 из 22)

, .

Отметим теперь следующий важный факт. В любом линейном нормированном пространстве можно ввести метрику следующим образом:

При этом выполнение первой аксиомы метрического пространства следует из первой аксиомы нормированного пространства. Выполнение второй аксиомы также очевидно:

.

Наконец, выполнение третьей аксиомы метрического пространства следует из неравенства Минковского:

Итак, любое линейное нормированное пространство можно сделать метрическим пространством указанным выше естественным способом (так, указанные нами нормы в пространстве непрерывных функций порождают соответственно равномерную и среднеквадратичную метрику, т.е. порождают пространства

и соответственно). Обратное утверждение, вообще говоря, неверно: не в любом метрическом пространстве можно ввести норму, поскольку понятие нормы вводится лишь в линейном пространстве, а метрическое пространство может не быть наделено линейной структурой. Однако, если метрическое пространство наделено линейной структурой (является линейным пространством), то его всегда можно сделать нормированным, введя норму

Пусть

-- вещественное -мерное пространство, в котором задан базис . Тогда векторы и из задаются своими координатами:

Скалярное произведение векторов, обозначаеся оно обычно

, задается формулой

(18.3)

В отличие от обычного трехмерного пространства, где с помощью транспортира и линейки можно измерить угол между векторами и длину вектора, в

-мерном пространстве ни угол между векторами, ни длину вектора измерить невозможно (как можно, например, измерить длину многочлена или угол между многочленами?). Поэтому ортонормированным в -мерном пространстве называется тот базис, в котором скалярное произведение вычисляется по формуле (18.3).

Если

, -- координатные столбцы векторов и , то скалярное произведение можно задать формулой

Предоставляем читателю самостоятельно убедиться в совпадении этой формулы с формулой (18.3)

Определение 18.5 Вещественное линейное пространство, в котором задано скалярное произведение называется евклидовым пространством.

В трехмерном пространстве с помощью склярного произведения определялся угол между векторами. В евклидовом пространстве тоже можно определить угол между векторами. Но угол в

-мерном пространстве не имеет существенного значения, кроме одного случая. В трехмерном проcтранстве два вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

Определение 18.6 Два вектора евклидова пространства называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

Определение 18.7 Комплексное линейное пространство, в котором введено скалярное произведение, называется унитарным пространством.

В унитарном пространстве модуль вектора и условие ортогональности вводятся с помощью скалярного произведения так же, как в евклидовом пространстве. В координатной записи

Гильбертово пространство, математическое понятие, обобщающее понятие евклидова пространства на бесконечномерный случай. Возникло на рубеже 19 и 20 вв. в виде естественного логического вывода из работ нем. математика Гильберта в результате обобщения фактов и методов, относящихся к разложениям функций в ортогональные ряды и к исследованию интегральных уравнений. Постепенно развиваясь, понятие «Г. п.» находило все более широкие приложения в различных разделах математики и теоретической физики; оно принадлежит к числу важнейших понятии математики.

Первоначально Г. п. понималось как пространство последовательностей со сходящимся рядом квадратов (т.н. пространство l₂). Элементами (векторами) такого пространства являются бесконечные числовые последовательности

x = (x₁, x₂,..., x_n,...)

такие, что ряд x²₁ + x²₂ +... + х²_n + ...сходится. Сумму двух векторов х + y и вектор lx, где l — действительное число, определяют естественным образом:

x + y = (x₁ + y₁,..., x_n + y_n,...),

lx = (lx₁, lx₂, ..., lx_n,...)/

Для любых векторов х, y Î l₂ формула

(x, y) = x₁y₁ + x₂y₂ + ... +x_ny_n + ...

определяет их скалярное произведение, а под длиной (нормой) вектора х понимается неотрицательное число

Скалярное произведение всегда конечно и удовлетворяет неравенству |(х, у)| £ ||x|| ||y||. Последовательность векторов х_n называется сходящейся к вектору х, если ||х_n—х|| ® 0 при n ® ¥. Многие определения и факты теории конечномерных евклидовых пространств переносятся и на Г. п. Например, формула

где 0 £ j £ p определяет угол j между векторами х и у. Два вектора х и у называются ортогональными, если (х, у) = 0. Пространство l₂ полно: всякая фундаментальная последовательность Коши элементов этого пространства (т.е. последовательность х_n, удовлетворяющая условию ||х_п—х_m||® 0 при n, m ® ¥) имеет предел. В отличие от евклидовых пространств, Г. п. l₂ бесконечномерно, т.е. в нём существуют бесконечные системы линейно независимых векторов; например, такую систему образуют единичные векторы

e₁ = (1, 0, 0,...), e₂ = (0, 1, 0,...),...

При этом для любого вектора x из l₂ имеет место разложение

x = x₁e₁ + x₂e₂ +... (1)

по системе {e_n}.

Операторы (общие понятия). Функционалы. Пусть X, Y — линейные пространства; отображение A: X ® Y называется линейным, если для x, у Î X, l, m Î

,

где x₁,..., x_n и (Ax)₁,..., (Ax) _n — координаты векторов x и Ax соответственно. При переходе к бесконечномерным линейным топологическим пространствам положение значительно усложняется. Здесь прежде всего необходимо различать непрерывные и разрывные линейные операторы (для конечномерных пространств они всегда непрерывны). Так, действующий из пространства L₂ (а, b) в него же оператор

(где K (t, s) — ограниченная функция — ядро А) — непрерывен, в то время как определённый на подпространстве C¹(a, b) Ì L₂(a, b) оператор дифференцирования

является разрывным (вообще, характерной особенностью разрывных операторов является то, что они не определены на всём пространстве).

Линейный функционал, обобщение понятия линейной формы на линейные пространства. Линейным функционалом f на линейном нормированном пространстве Е называют числовую функцию f(x), определённую для всех х из Е и обладающую следующими свойствами:

1) f(x) линейна, т. е. f((x + (у) = (f(x) + (f(y),

где х и у — любые элементы из Е, a и b — числа;

2) f(x) непрерывна.

Непрерывность f равносильна требованию, чтобы

было ограничено в Е; выражение называют нормой f и обозначают .

В пространстве С [a, b] функций a(t), непрерывных при a ( t ( b, с нормой

Л. ф. являются, например, выражения: