Теоретические основы математических и инструментальных методов экономики (стр. 22 из 22)

Известно [1], что эта статистика имеет распределение Стьюдента с (n-2) степенями свободы. Введем уровень значимости

для решения и тогда решающее правило принимает вид

. (6.40)

Здесь

- квантиль распределения Стьюдента уровня (1- ) с степенями свободы.

Для графической оценки корреляционной связи двух случайных переменных строят так называемые диаграммы рассеяния

Коэффициент корреляции определяет тесноту линейной корреляционной связи между двумя случайными переменными x и y. Однако корреляционная связь между переменными не обязательно является линейной. Поставим задачу описания корреляционной связи в самом общем виде. Выясним меняется ли одна случайная величина (y) при изменении другой случайной величины (x). Рассмотрим плоскость (xy), на которой заданы эти величины. На оси x укажем k точек в интересующем нас диапазоне значений и для каждой j-й точки этого диапазона измерим q раз значение переменной y. В результате получаем k диапазонов (групп) для величины y, в каждом из которых имеется q отсчетов. Значения y внутри отдельной группы будем рассматривать как самостоятельную совокупность и для нее найдем внутригрупповую среднюю и внутригрупповую дисперсию соответственно:

. (6.41)

(Отметим, что в пределах данного пункта используется формула для вычисления смещенной оценки дисперсии.)

Найдем среднюю арифметическую внутригрупповых дисперсий

, (6.42)

а также среднее значение по всей совокупности точек

. (6.43)

Запишем выражение для расчета межгрупповой дисперсии, описывающей рассеяние групповых средних относительно средней по всей совокупности точек

, (6.44)

и выражение для расчета общей дисперсии, описывающей рассеяние отдельных точек относительно среднего по всей совокупности

(6.45)

Если переменная y связана с x функциональной зависимостью, то определенному значению x соответствует определенное значение y и в каждой группе содержатся q одинаковых чисел. Это означает, что внутригрупповая дисперсия

равна нулю и на основание (6.51)

. (6.52)

. (6.53)

На основание данного важного свойства соотношения межгрупповой и общей дисперсий вводится мера оценки тесноты корреляционной связи

. (6.54)

Мера (6.54) называется выборочным корреляционным отношением и характеризует тесноту как линейной, так и нелинейной корреляционной связи между двумя случайными величинами. Очевидно, что

. (6.55)

Поскольку наиболее общим видом связи двух переменных является полиномиальная связь, можно сказать, что корреляционное отношение оценивает тесноту связи вида

(6.56)