Теоретические основы математических и инструментальных методов экономики (стр. 19 из 22)

· вычисляется его наблюдаемое значение Кнабл по имеющейся выборке;

· поскольку закон распределения К известен, определяется (по известному уровню значимости б) критическое значение kкр, разделяющее критическую область и область принятия гипотезы (например, если р(К > kкр) = б, то справа от kкр располагается критическая область, а слева – область принятия гипотезы);

· если вычисленное значение Кнабл попадает в область принятия гипотезы, то нулевая гипотеза принимается, если в критическую область – нулевая гипотеза отвергается.

Различают разные виды критических областей:

· правостороннюю критическую область, определяемую неравенством K > kкр ( kкр > 0);

· левостороннюю критическую область, определяемую неравенством K < kкр ( kкр < 0);

· двустороннюю критическую область, определяемую неравенствами K < k1, K > k2 (k2 > k1).

Определение 19.7. Мощностью критерия называют вероятность попадания критерия в критическую область при условии, что верна конкурирующая гипотеза. Если обозначить вероятность ошибки второго рода (принятия неправильной нулевой гипотезы) в, то мощность критерия равна 1 – в. Следовательно, чем больше мощность критерия, тем меньше вероятность совершить ошибку второго рода. Поэтому после выбора уровня значимости следует строить критическую область так, чтобы мощность критерия была максимальной.

В ряде случаев оказывается достаточно трудно, а иногда и невозможно определить даже хотя бы приблизительно не только априорные вероятности гипотез, но и цены решений. Классическим примером такой ситуации является обнаружение сигналов в радиолокации. То же самое имеет место и в системах передачи дискретных сообщений при обнаружении начала информационной последовательности (радиограммы, команды и т.п.).

В этих условиях обычно приходится задаваться некоторым значением вероятности ошибочного решения при справедливости одной из гипотез (например,

) и выбирать стратегию, обеспечивающую минимальное значение вероятности ошибочного решения при справедливости другой гипотезы

. Такой критерий оптимизации стратегии называется критерием Неймана-Пирсона. Применительно к случаю радиолокационного обнаружения задаются вероятностью

ошибочной регистрации сигнала при наличии на входе только шума, называемой вероятностью ложной тревоги
. Минимизируемая вероятность

при этом носит название вероятности пропуска цели
.

Можно показать, что стратегия, оптимальная по Нейману-Пирсону, по-прежнему сводится к сравнению величины отношения правдоподобия

с некоторым пороговым значением

, определяемым в данном случае требуемым значением вероятности ложной тревоги
.

Значимости уровень статистического критерия, вероятность ошибочно отвергнуть основную проверяемую гипотезу, когда она верна. В теории статистической проверки гипотез З. у. называется вероятностью ошибки первого рода. Понятие "З. у." возникло в связи с задачей проверки согласованности теории с опытными данными. Если, например, в результате наблюдений регистрируются значения n случайных величин X₁,..., X_n и если требуется по этим данным проверить гипотезу Н, согласно которой совместное распределение величин X₁,..., X_n обладает некоторым определённым свойством, то соответствующий статистический критерий конструируется с помощью подходящим образом подобранной функции Y = f (X₁,..., X_n); эта функция обычно принимает малые значения, когда гипотеза Н верна, и большие значения, когда Н ложна. В частности, если X₁,..., X_n - результаты независимых измерений некоторой известной постоянной а и гипотеза Н представляет собой предположение об отсутствии в результатах измерений систематических ошибок, то для проверки Н разумно в качестве Y выбрать (2m - n)², где m - количество тех результатов измерений X₁, которые превышают истинное значение а. Наблюдаемое в опыте большое значение Y можно рассматривать как значимое статистическое опровержение гипотетического согласия между результатами наблюдений и проверяемой гипотезой. Соответствующий критерий значимости представляет собой правило, согласно которому значимыми считаются значения Y, превосходящие заданное критическое значение у. В свою очередь выбор величины у определяется заданным З. у., который в случае справедливости гипотезы Н совпадает с вероятностью события {Y>y}.

Мы рассматриваем независимую выборку

, обозначая неизвестную функцию распределения

. Нас интересует вопрос о том, согласуются ли данные наблюдений

с простой гипотезой

где

-- некоторая конкретная фиксированная функция распределения.

Вначале разобъем множество

на конечное число непересекающихся подмножеств

. Пусть

-- вероятность, соответствующая функции распределения

, обозначим

Очевидно, что

Теперь сделаем группировку данных аналогично процедуре, описанной в

6.3, а именно, определим

(50)

Очевидно, что в силу случайных колебаний эмпирические частоты

будут отличаться от теоретических вероятностей

. Чтобы контролировать это различие, следует подобрать хорошую меру расхождения между экспериментальными данными и гипотетическим теоретическим распределением. По аналогии с идеей метода наименьших квадратов в качестве такой меры расхождения можно взять, например,

, где положительные числа

можно выбирать более или менее произвольно. Как показал К. Пирсон, если выбрать

, то полученная величина будет обладать рядом замечательных свойств. Таким образом, положим

(51)

Подчеркнем, что величина

вычисляется по выборке. Функцию

принято называть статистикой Пирсона. Обсудим ее свойства.

Поведение

, когда гипотеза

верна.

Речь идет о поведении при увеличении объема выборки:

Теорема К. Пирсона.Предположим, что гипотеза