Сущность теории игр (стр. 4 из 4)
2. По оси ординат отложим выигрыши при стратегии А1.
3. На вертикали в точке 1 отложим выигрыши при стратегии А2.
4. Проводим прямую b11b12, соединяющую точки а11, а21.
5. Проводим прямую b21b22, соединяющую точки а12, а22.
6. Определяем ординату точки пересечения с линий b11b12 и b21b22. Она равна g.
7. Определим абсциссу точки пересечения с. Она равна р2, а р1 = l – р2.
Выпишем решение и представим оптимальную стратегию игры:
р1 = 0,375; (2.3)
р2 = 0,625;
(2.4)g =0,55. (2.5)
Вывод. При установке новой системы ЭВМ, если неизвестны условия решения задач заказчика, на работу ЭВМ А1 должно приходиться 37,5% времени, а на работу ЭВМ А2 - 62,5%. При этом выигрыш составит 55% по сравнению с предыдущей системой ЭВМ.
3. ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ИГР С ПРИРОДОЙ
Рассмотрим игры с природой на примере следующей задачи. Необходимо закупить уголь для обогрева дома. Количество хранимого угля ограничено и в течение холодного периода должно быть полностью израсходовано. Предполагается, что неизрасходованный зимой уголь в лето пропадает. Покупать уголь можно в любое время, однако летом он дешевле, чем зимой. Неопределенность состоит в том, что не известно, какой будет зима: суровой, тогда придется докупать уголь, или мягкой, тогда часть угля может остаться неиспользованной. Очевидно, что у природы нет злого умысла и она ничего против человека «не имеет». С другой стороны, долгосрочные прогнозы, составляемые метеорологическими службами, неточны и поэтому могут использоваться в практической деятельности только как ориентировочные при принятии решений.
Имеются следующие данные о количестве и ценах угля, необходимого зимой для отопления дома (табл. 3.1). Вероятности зим: мягкой - 0,35; обычной - 0,5; холодной - 0,15.
| Зима | Количество угля, т | Средняя цена за 1 т, грн. |
| Мягкая | 4 | 7 |
| Обычная | 5 | 7,5 |
| Холодная | 6 | 8 |
Эти цены относятся к покупкам угля зимой. Летом цена угля 6 грн. за 1 т. Есть место для хранения запаса угля до 6 т, заготавливаемого летом. Если потребуется зимой докупить недостающее количество угля, докупка будет по зимним ценам. Предполагается, что весь уголь, который сохранится до конца зимы, в лето пропадет.(Предположение делается для упрощения постановки и решения задачи.)
Сколько угля летом покупать на зиму?
3.2 Решение задач игр с природой
Пользуясь исходными данными, строим матрицу игры. Стратегиями игрока 1 (человек) являются различные показатели количества тонн угля, которые ему, возможно, следует купить. Состояниями природы выступают вероятности видов зимы.
Вычислим, например, показатель для холодной зимы. Игрок 1 приобрел уголь для обычной зимы 5 т по цене 6 грн. за 1 т. Для обогрева он должен закупить еще 1 тонну по цене 8 грн за 1т.
Следовательно, расчет платы за уголь будет 5 × 6 – при заготовке, и зимой 8 × 1. Аналогично производятся расчеты при других сочетаниях.
В итоге получим следующую платежную матрицу в игре с природой платежную матрицу (табл. 3.2).
Таблица 3.2.
| ВероятностьЗима | 0,35 | 0,5 | 0,15 |
| Мягкая | Обычная | Холодная | |
| Мягкая (4т) | -(4 × 6) | -(4 × 6 + 1 × 7,5) | -(4 × 6 + 2 × 8) |
| Обычная (5 т) | -(5 × 6) | -(5 × 6 + 0 × 7,5) | -(5 × 6 + 1 × 8) |
| Холодная (6 т) | -(6 × 6) | -(6 × 6 + 0 × 7,5) | -(6 × 6 + 0 × 8) |
Произведем расчет ожидаемой средней платы за уголь (табл. 3.3).
Таблица 3.3
| Зима | Средняя ожидаемая плата |
| Мягкая | -(24 × 0,35 + 31,5 × 0,5 + 40 × 0,15) = -30,15 |
| Обычная | -(30 × 0,35 + 30 × 0,5 + 38 × 0,15) = -31,2 |
| Холодная | -(36 × 0,35 + 36 × 0,5 + 36 × 0,15) = - 36 |
Как видно из табл. 3.3, наименьшая ожидаемая средняя плата приходится на случай мягкой зимы (30,15 грн.). Соответственно если не учитывать степени риска, то представляется целесообразным летом закупить 4 т угля, а зимой, если потребуется, докупить уголь по более высоким зимним ценам.
Однако, привлекая дополнительную информацию в форме расчета среднеквадратичного отклонения как индекса риска. Мы можем уточнить принятое на основе максимума прибыли или минимума издержек решение. Дополнительные рекомендации могут оказаться неоднозначными, зависящими от склонности к риску ЛПР.
Формулы теории вероятности:
Дисперсия случайной величины ξ равна
Среднеквадратичное отклонение составит
где D и М - соответственно символы дисперсии и математического ожидания.
Проводя соответственно вычисления для всех случаев по такому принципу:
Мягкая зима:
М(ξ2) = - (242× 0,35 + 31,52× 0,5 + 402× 0,15) = - 937,725
(Мξ)2 = -(30,152 ) = - 909,0225
Dξ =937,725- 909,0225 = 28,7025
sx = 5,357
Если продолжить исследование процесса принятия решения и вычислить среднеквадратичные отклонения платы за уголь для мягкой, обычной и холодной зимы, то соответственно получим:
• для мягкой зимы sx = 5,357;
• для обычной зимы sx = 2,856;
• для холодной зимы sx = 0.
Минимальный риск, естественно, будет для холодной зимы, однако при этом ожидаемая средняя плата за уголь оказывается максимальной - 36 ф. ст.
Вывод. Мы склоняемся к варианту покупки угля для обычной зимы, так как ожидаемая средняя плата за уголь по сравнению с вариантом для мягкой зимы возрастает на 3,5%, а степень риска при этом оказывается почти в 2 раза меньшей (sx = 2,856 против 5,357).
Отношение среднеквадратичного отклонения к математическому ожиданию, вариабельность (средний риск на затрачиваемый 1 ф. ст.) для обычной зимы составляет 2,856/31,2 = 0,0915 против аналогичного показателя для мягкой зимы, равного 5,357/30,15 = 0,1777, т.е. вновь различие почти в 2 раза.
Эти соотношения и позволяют рекомендовать покупку угля, ориентируясь не на мягкую, а на обычную зиму.
В заключение данной работы можно сделать вывод о необходимости использования теории игр в современных экономических условиях.
В условиях альтернативы (выбора) очень часто нелегко принять решение и выбрать ту или иную стратегию. Исследование операций позволяет с помощью использования соответствующих математических методов принять обоснованное решение о целесообразности той или иной стратегии. Теория игр, имеющая в запасе арсенал методов решения матричных игр, позволяет эффективно решать указанные задачи несколькими методами и из их множества выбрать наиболее эффективные, а также упрощать исходные матрицы игр.
В данной работе были проиллюстрированы практическое применение двух основных стратегий теории игр и сделаны соответствующие выводы.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Тернер Д. Вероятность, статистика, исследование операций: Пер. с англ. – М.: Высш.шк., 1971.
2. Мак Киси Дж. Введение в теорию игр: Пер. с англ. – М.: Физматгиз, 1960.
3. Нейман Дж., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение: Пер. с англ. – М.: Наука, 1970.
4. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике. – М.: ДИС, 1997.
5. Дубров А.М. Математико-статистическая оценка эффективности в экономических задачах. – М.: Финансы и статистика, 1982.
6. Дубров А.М. Последовательный анализ в статистической обработке информации. – М.: Статистика, 1976.
7. Вальд А. Последовательный анализ: Пер. с англ. – М.: Физматгиз, 1960.
8. Моделирование рисковых ситуаций в экономике и бизнесе: Учеб. пособие /А.М. Дубров, Б.А. Лагоша, Е.Ю. Хрусталев, Т.П. Барановская; Под ред. Б.А. Лагоши. – 2-е изд., пере раб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 2001.