Рішення систем нелінійних рівнянь. Метод ітерацій. Метод Ньютона–Канторовича (стр. 1 из 3)

ОБЛАСНИЙ КОМУНАЛЬНИЙ ВИЩИЙ НАВЧАЛЬНИЙ ЗАКЛАД "ІНСТИТУТ ПІДПРИЄМНИЦТВА "СТРАТЕГІЯ"

КАФЕДРА ЕКОНОМІЧНОЇ КІБЕРНЕТИКИ

Курсова робота

З дисципліни: "Обчислювальні методи"

На тему: "Рішення систем нелінійних рівнянь. Метод ітерацій. Метод Ньютона - Канторовича."

Студента Іощенка І.Г.

группа С-05-51

Керівник Андрейшина Н.Б.

Філімоненко М.І.

м. Жовті Води 2007

Зміст

Вступ

1. Рішення систем нелінійних рівнянь

1.1 Метод ітерацій

1.1.1 Приклад рішення системи нелінійних рівнянь методом ітерацій

1.2 Метод найшвидшого спуску

1.2.1 Приклад рішення системи нелінійних рівнянь методом спуска

1.3 Метод Ньютона-Канторовича

Вступ

При рішенні систем нелінійних і трансцендентних рівнянь дуже складно знайти точне рішення, тому точним рішення рівняння не є. Задача пошуку кореня системи рівняння може вважатися практично вирішеною, якщо ми зуміємо визначити корінь з потрібним ступенем точності і вказати межі можливої погрішності. Умови збіжності метода Ньютона для системи досліджувалися Виллерсом, Стениним, Канторовичем.

У наш час рішення систем нелінійних рівнянь досить актуальна тема, адже її можна застосовувати на практиці для рішення кола задач. Прикладом цього є задачі, які виникають у геодезії.

Цілю моєї курсової роботи є опис методів рішення систем нелінійних рівнянь, а також продемонструвати на практиці рішення системи рівнянь методом Ньютона - Канторовича та написання програми до цього методу.

1. Рішення систем нелінійних рівнянь

Задачі, які виникають при математичній обробці результатів вимірювання, як правило, зводяться до рішення нелінійних систем алгебраїчних або трансцендентних рівнянь:

або у векторній формі

F (X) = 0.

Як і у випадку одного рівняння, рішення нелінійних систем рівнянь поділяється на два етапи:

знаходження приблизного рішення системи;

уточнення приблизного рішення.

Для знаходження приблизного значення коренів системи рівнянь не існує загальних методів. Завжди кожна нелінійна система повинна розглядатися як спеціальна задача.

Для уточнення коренів розробленні загальні методи. Найбільш розповсюдженні в нинішній час є метод ітерацій, метод спуска, метод Ньютона та деякі їх модифікації.

1.1 Метод ітерацій

Нехай дана система нелінійних рівнянь спеціального виду

(1)

де функції

, ,... ., дійсно визначенні та непереривні на деякій області ізольованого рішення цієї системи.

Розглядаючи вектори

і (x) = ( ₁ (x), ₂ (x), …. ., _n (x)), систему (1) можна записати у виді:

x =

(x) (2)

Наприклад, для рішення системи двох нелінійних рівнянь з двома невідомими

потрібно перейти до рівностей:

Нехай вибрано початкове приближення (

, ), тоді

і k+1 приближення буде розраховуватися за формулами

Відомо, що процес ітерації зводиться до рішення системи, якщо усі числа матриці

по модулю менше одиниці. Більш простою вимогою, використовуваною на практиці, є наступне: сума модулів частних похідних по кожному стовбці матриці повинна бути менша одиниці

У випадку використання методу ітерацій до системи n рівнянь, k+1 ітерація буде будуватися по формулам

Тоді вимога сходження матиме вигляд:

Слід відмітити, що ця вимога виповняється для дуже малого числа функцій, і тому метод ітерації дуже рідко використовується на практиці, не дивлячись на його простоту.

1.1.1 Приклад рішення системи нелінійних рівнянь методом ітерацій

Рішить систему рівнянь

Ця система еквівалентна системі рівнянь:

Виберемо початкові приближення

та провіримо умови

сходження процесу. Часні похідні мають вигляд

Маємо

Звідси слідує, що процес сходиться. Розрахунки на правому приближенні дають:

x ⁽¹⁾ =1+0.85=1.85

y ⁽¹⁾ =0.842-1.32=-0.478

x ⁽²⁾ =0.888+0.85=1.738

y ⁽²⁾ =0.961-1.32=0.359

x ⁽³⁾ =0.936+0.85=1.786

y ⁽³⁾ =0.986-1.32=0.334

x ⁽⁴⁾ =0.945+0.85=1.795

y ⁽⁴⁾ =0.977-1.32=0.343

x ⁽⁵⁾ =0.9408+0.85=1.7908

y ⁽⁵⁾ =0.9750-1.32= - 0.3450

x ⁽⁶⁾ =0.9411+0.85=1.7911

y ⁽⁶⁾ =0.9759-1.32=0.3441

x ⁽⁷⁾ =0.9414+0.85=1.7914

y ⁽⁷⁾ =0.9758-1.32=-0.3442.

1.2 Метод найшвидшого спуску

Нехай маємо систему рівнянь:

або в матричному вигляді:

де

Допустимо, що функція

дійсно непереривна та непреривно диференційована в загальній області визначення. Розглянемо функцію

Тоді рішення даної системи зводиться до мінімізації цієї функції.

Для мінімізації по методу спуску вибирається початковий вектор Х⁰, а потім шукається напрямлення спуска до рішення

, таке щоб

для векторів Х ⁽¹⁾ виду

. Тут - скалярна величина, постійна для даної ітерації і знаходить величину шагу за напрямом .

Методи спуску розрізняються в залежності від вибору напрямлення спуска. Одним із найкращих направлень є напрямлення градієнта

Функція Ф (Х ^(і)) задається в n-мірному просторі сімейства гіперповерхонь і градієнт вирішує напрям найшвидшого спуска. Тому саме воно використовується у методі найшвидшого спуска для мінімізації функції.

Другою проблемою в методах найшвидшого спуску є вибір величини шагу

, на який потрібно про двинутися вздовж напряму зменшення функції.

Спробуємо вибрати оптимальний шаг

для - ітерації методу найшвидшого спуска і побудувати вектор

для якого функція

приймає менше значення, чим . Розкладемо функцію

в ряд Тейлора та обмежившись членами другого порядку меншості получимо

(3)