Решения задачи планирования производства симплекс методом (стр. 6 из 10)
Допустимое отклонение - предназначен для задания допуска на отклонение от оптимального решения, если множество значений влияющей ячейки ограничено множеством целых чисел. Чем больше значение допуска, тем меньше времени требуется на поиск решения.
Сходимость - применяется только к нелинейным задачам. Когда относительное изменение значения в целевой ячейке за последние пять итераций становится меньше числа, указанного в поле Сходимость, поиск прекращается.
Линейная модель - служит для ускорения поиска решения путем применения к задаче оптимизации линейной модели. Нелинейные модели предполагают использование нелинейных функций, фактора роста и экспоненциального сглаживания, что замедляет вычисления.
Неотрицательные значения - позволяет установить нулевую нижнюю границу для тех влияющих ячеек, для которых не было задано соответствующее ограничение в диалоговом окне Добавить ограничение.
Автоматическое масштабирование - используется, когда числа в изменяемых ячейках и в целевой ячейке существенно различаются.
Показывать результаты итераций - приостанавливает поиск решения для просмотра результатов отдельных итераций.
Загрузить модель - после щелчка на этой кнопке отрывается одноименное диалоговое окно, в котором можно ввести ссылку на диапазон ячеек, содержащих модель оптимизации.
Сохранить модель - служит для отображения на экране одноименного диалогового окна, в котором можно ввести ссылку на диапазон ячеек, предназначенный для хранения модели оптимизации.
Оценка линейная - выберите этот переключатель для работы с линейной моделью.
Оценка квадратичная - выберите этот переключатель для работы с нелинейной моделью.
Разности прямые - используется в большинстве задач, где скорость изменения ограничений относительно невысока. Увеличивает скорость работы средства Поиск решения.
Разности центральные - используется для функций, имеющих разрывную производную. Данный способ требует больше вычислений, однако его применение может быть оправданным, если выдано сообщение о том, что получить более точное решение не удается.
Метод поиска Ньютона - требует больше памяти, но выполняет меньше итераций, чем в методе сопряженных градиентов.
Метод поиска сопряженных градиентов - реализует метод сопряженных градиентов, для которого требуется меньше памяти, но выполняется больше итераций, чем в методе Ньютона. Данный метод следует использовать, если задача достаточно большая и необходимо экономить память или если итерации дают слишком малое отличие в последовательных приближениях.
В результате исследования основных алгоритмов решения задач ЛП, было принято решение поставленную задачу планирования производства решать симплекс методом. Это обусловлено тем, что симплекс метод является эффективным алгоритмом и наиболее универсальным методом, которым можно решить любую задачу линейного программирования. В качестве вспомогательного средства, для составления конкретной задачи планирования производства (подбора таких значений, чтобы задача имела решение) было использовано средство «Поиск решения» в MS Excel.
3. Задача планирования производства
Задача планирования производства относится к категории экономических проектов, к которым предъявлены определенные требования. Проект - это ограниченное по времени целенаправленное изменение отдельной системы с установленными требованиями к качеству результатов, возможными рамками расхода средств и ресурсов и специфической организацией.
3.1 Постановка задачи планирования производства в общем случае
Некоторое предприятие производит n типов продукции, затрачивая при этом m типов ресурсов. Известны следующие параметры: aij – количество i-го ресурса, необходимое для производства единичного количества j-й продукции; aij
0 (i=1,…,m; j=1,…,n);bi-запас i-го ресурса на предприятии, bi>0;
cj-цена единичного количества j-й продукции, cj>0.
Предполагается, что затраты ресурсов растут прямо пропорционально объему производства. Пусть xj – планируемый объем производства j-й продукции. Тогда допустимым является только такой набор производимой продукции x=(x1,x2,…,xn), при котором суммарные затраты каждого вида i-го ресурса не превосходят его запаса:
(1)Кроме того, имеем следующее ограничение: xj
0; j=1,…,n. (2)Стоимость набора продукции x выражается величиной:
(3)Задача планирования производства ставится следующим образом: среди всех векторов x, удовлетворяющим ограничениям (1), (2), найти такой, при котором величина (3) принимает наибольшее значение.
3.2 Математическое описание поставленной задачи планирования симплекс методом
Пусть некоторое предприятие производит 5 видов продукции A, B, C, D и E, затрачивая при этом 5 типов ресурсов. На производство продукции типа A требуется следующее количество имеющихся на предприятии ресурсов (дается количество каждого ресурса, необходимого для производства единицы продукции типа A): 1 – количество ресурса 1, 4 – количество ресурса 2, 2 – количество ресурса 3, 1 – количество ресурса 4, 3 – количество ресурса 5. На производство единицы продукции типа B требуется (в условных единицах): 2 – количество ресурса 1, 2 – количество ресурса 2, 1 – количество ресурса 3, 4 – количество ресурса 4, 2 – количество ресурса 5. На производство единицы продукции типа C требуется (в условных единицах): 4 – количество ресурса 1, 1 – количество ресурса 2, 3 – количество ресурса 3, 1 – количество ресурса 4, 2 – количество ресурса 5. На производство единицы продукции типа D требуется (в условных единицах): 3 – количество ресурса 1, 2 – количество ресурса 2, 4 – количество ресурса 3, 2 – количество ресурса 4, 1 – количество ресурса 5. На производство единицы продукции типа E требуется (в условных единицах): 1 – количество ресурса 1, 2 – количество ресурса 2, 1 – количество ресурса 3, 4 – количество ресурса 4, 4 – количество ресурса 5.
Допустим, что запас ресурса 1 на предприятии составляет 600 условных единиц, запас ресурса 2 – 590 условных единиц, запас ресурса 3 – 750 условных единиц, запас ресурса 4 – 670 условных единиц и запас ресурса 5 – 495 условных единиц.
Цена единицы продукции типа A равна 60 рублям, цена единицы продукции типа B равна 50 рублям, цена единицы продукции типа C равна 37 рублям, цена единицы продукции типа D равна 45 рублям, а единица продукции типа E – 56 рублям.
Нужно спланировать такой набор производимой продукции x=(x1, x2, x3, x4, x5), при котором суммарные затраты каждого вида ресурса не превосходят его запаса, т.е.
x1+4x2+2x3+1x4+3x5
600;2x1+2x2+x3+4x4+2x5
590;4x1+x2+3x3+x4+2x5
750;3x1+2x2+4x3+2x4+x5
670;x1+2x2+x3+4x4+4x5
495;и при этом должны выполняться следующие ограничения: x1, x2, x3, x4, x5
0. Спланированный набор производимой продукции x=(x1, x2, x3, x4, x5) должен обеспечить максимум стоимости данного набора{60x1+50x2+37x3+45x4+56x5}
max.Таким образом, мы получим однокритериальную задачу, которая является задачей линейного программирования (ЗЛП). Она сводится к поиску экстремума линейной функции (данная функция называется либо критерием, либо целевой функцией)
f(x)=60x1+50x2+37x3+45x4+56x5
при наличии системы линейных неравенств, ограничивающих область изменения аргументов этой функции
x1+4x2+2x3+1x4+3x5
600;2x1+2x2+x3+4x4+2x5
590;4x1+x2+3x3+x4+2x5
750;3x1+2x2+4x3+2x4+x5
670;x1+2x2+x3+4x4+4x5
495;x1, x2, x3, x4, x5
0.3.3 Решение поставленной задачи планирования производства
Описание метода решения задачи.
Процедура решения ЗЛП начинается с приведения ее к канонической форме, то есть к стандартной форме задания, ориентированной на разработанный именно для этой формы метод решения. Задача линейного программирования в канонической форме имеет смысл при условии n>m. В этом случае полностью описывается область допустимых решений (ОДР) ЗЛП, геометрически являющуюся выпуклым многогранником в евклидовом пространстве Rn[1]. Выпуклая фигура, как известно, характеризуется тем свойством, что, если две точки X1 и X2 принадлежат этой фигуре, то и весь отрезок X1X2 принадлежит ей. Кроме того, доказано, что оптимальное решение ЗЛП всегда лежит на границе ОДР. Поэтому справедлив вывод о том, что, по крайней мере, одна из угловых (опорных) точек выпуклого многогранника ОДР является точкой оптимума. Для того, чтобы определить координаты опорной точки, все множество переменных X={xj}, j=
необходимо разделить на два подмножества 
: