Решения задачи планирования производства симплекс методом (стр. 3 из 10)
Многие свойства задач линейного программирования можно интерпретировать также как свойства многогранников и таким образом геометрически формулировать и доказывать их.
Термин «программирование» нужно понимать в смысле «планирования». Он был предложен в середине 1940-х годов Джорджем Данцигом, одним из основателей линейного программирования, еще до того, как компьютеры были использованы для решения линейных задач оптимизации.
1.4 Математическая формулировка задачи линейного программирования
Нужно определить максимум линейной целевой функции (линейной формы)
при условиях
при 
.Иногда на xi также накладывается некоторый набор ограничений в виде равенств, но от них можно избавиться, последовательно выражая одну переменную через другие и подставляя ее во всех остальных равенствах и неравенствах (а также в функции f).
Такую задачу называют "основной" или "стандартной" в линейном программировании.
1.5 Постановка задачи целочисленного программирования
По смыслу значительной части экономических задач, относятся к задачам линейного программирования, компоненты решения должны выражаться в целых числах, т.е. быть целочисленными. К ним относятся, например, задачи, в которых переменные означают количество единиц неделимой продукции, число станков при загрузке оборудования, число судов при распределениях по линиям, число турбин в энергосистеме, число вычислительных машин в управляющем комплексе и многие другие.
Задача линейного целочисленного программирования формируется следующим образом: найти такое решение (план) X = (x1,x2,...,xn), при котором линейная функция
(1)принимает максимальное или минимальное значение при ограничениях
=bi, i=1, 2…,m. (2)хj ³ 0, j=1, 2,...,n.(3)
xj — целые числа (4)
2. Обзор основных алгоритмов решения задач ЛП
2.1 Целочисленное линейное программирование - метод отсечений Гомори
Целочисленное линейное программирование (сокращенно ЦЛП) занимается задачами линейного программирования с целочисленными переменными, общая задача формулируется следующим образом: найти max{сх|Ах ≤ b; х - целочисленный}. ЦЛП может рассматриваться так же, как поиск точки решетки, принадлежащей многограннику или как решение системы линейных уравнений с целыми неотрицательными переменными. Иными словами, в ЦЛП рассматриваются совместные ограничения неотрицательность и целочисленность.
С помощью отсечений выделяют целочисленные части полиэдров. Метод отсечений был разработан в конце 1950-х годов Гомори для решения целочисленных линейных программ с помощью симплекс-метода. Метод отсечений оказался полезным и с теоретической точки зрения он дает возможность описать целочисленную оболочку полиэдра.
Далее описывается метод отсечений Гомори, дающий алгоритм решения задач целочисленного линейного программирования. Данный метод, который также носит название метода отсекающих плоскостей, предназначен для решения ЦЗЛП (целочисленной задачи линейного программирования) в канонической форме.
Описываемая ниже версия алгоритма предназначена для решения полностью целочисленных задач, т.е. таких, у которых все параметры aij, cj, bi – целые.
Приведем обобщенную схему алгоритма Гомори. Структурно он делится на так называемые большие итерации. Каждая большая итерация содержит этапы:
1.Сначала задача решается методами линейного программирования (малые итерации), обычно симплекс-методом, и анализируется результат, если результатом являются целые числа, то на этом решение заканчивается, а если дробные, то производят следующие операции:
2. В оптимальном плане (симплекс-таблице) выбирают строку, в которой целая часть дробного(!) свободного члена (P0) принимает наибольшее значение.
3.Построение для найденной компоненты условия отсечения.
Исходя из уравнения по данной строке xr=P0r - ar,1*x1 - … - ar,n*xn в систему ограничений добавляем неравенство, в котором коэффициенты будут дробными частями коэффициентов данного уравнения:
{P0r} –{ar,1}*x1 - … -{ar,n}*xn ≤ 0.
Переводим к каноническому виду добавляя новую переменную xn+1, получим:
{P0r} –{ ar,1}*x1 - … - {ar,n}*xn+xn+1= 0
И соответственно добавляем в симплекс-таблицу новый базисный вектор по новой переменной xn+1.
4.Переход на начало следующей большой итерации.
Замечание:
При добавлении в симплекс-таблицу нового базисного вектора по новой переменной xn+1 мы получаем недопустимое (отрицательное) решение. Для того, чтобы избавиться от недопустимого решения выбираем столбец замещения так, чтобы строкой замещения стала новая добавленная строка по переменной xn+1. Продолжаем пересчет симплекс-таблицы. Если снова получаем дробное решение, то еще вводим дополнительный базисный вектор, и так до получения целочисленного решения. Но следует заметить, что если область допустимых решений очень мала, то она может и не содержать целых значений, это необходимо проверить графически. Если область допустимых решений не содержит целочисленного решения, то в применении метода Гомори нет необходимости, целого решения не будет!
2.2 Целочисленное линейное программирование - метод ветвей и границ
Метод ветвей и границ — общий алгоритмический метод для нахождения оптимальных решений различных задач оптимизации, особенно дискретной и комбинаторной оптимизации. По существу, метод является комбинаторным (алгоритм перебора) с отсевом подмножеств множества допустимых решений, не содержащих оптимальных решений. Его суть заключается в упорядоченном переборе вариантов и рассмотрении лишь тех из них, которые оказываются по определенным признакам перспективными, и отбрасывании бесперспективных вариантов.
Метод ветвей и границ состоит в следующем: множество допустимых решений (планов) некоторым способом разбивается на подмножества, каждое из которых этим же способом снова разбивается на подмножества. Процесс продолжается до тех пор, пока не получено оптимальное целочисленное решение исходной задачи.
Метод был впервые предложен Ленд и Дойг в 1960 г. для решения задач целочисленного линейного программирования.
Общая идея метода может быть описана на примере поиска минимума и максимума функции f(x) на множестве допустимых значений x. Функция f и x могут быть произвольной природы. Для метода ветвей и границ необходимы две процедуры: ветвление и нахождение оценок (границ).
Процедура ветвления состоит в разбиении области допустимых решений на подобласти меньших размеров. Процедуру можно рекурсивно применять к подобластям. Полученные подобласти образуют дерево, называемое деревом поиска или деревом ветвей и границ. Узлами этого дерева являются построенные подобласти.
Процедура нахождения оценок заключается в поиске верхних и нижних границ для оптимального значения на подобласти допустимых решений.
В основе метода ветвей и границ лежит следующая идея (для задачи минимизации): если нижняя граница для подобласти A дерева поиска больше, чем верхняя граница какой-либо ранее просмотренной подобласти B, то A может быть исключена из дальнейшего рассмотрения (правило отсева). Обычно, минимальную из полученных верхних оценок записывают в глобальную переменную m; любой узел дерева поиска, нижняя граница которого больше значения m, может быть исключен из дальнейшего рассмотрения.
Если нижняя граница для узла дерева совпадает с верхней границей, то это значение является минимумом функции и достигается на соответствующей подобласти.
Метод используется для решения некоторых NP-трудных задач, такие как:
Задача коммивояжера
Задача о ранце
Первоначально находим симплексным методом или методом искусственного базиса оптимальный план задачи без учета целочисленности переменных. Пусть им является план X0. Если среди компонент этого плана нет дробных чисел, то тем самым найдено искомое решение данной задачи и Fmax = F(Xo).
Если же среди компонент плана X0 имеются дробные числа, то X0 не удовлетворяет условию целочисленности и необходимо осуществить упорядоченный переход к новым планам, пока не будет найдено решение задачи. Покажем, как это можно сделать, предварительно отметив, что F(X0) ³ F(X) для всякого последующего плана X.
Предполагая, что найденный оптимальный план X0 не удовлетворяет условию целочисленности переменных, тем самым считаем, что среди его компонент есть дробные числа. Пусть, например, переменная
приняла в плане X0 дробное значение. Тогда в оптимальном целочисленном плане ее значение будет по крайней мере либо меньше или равно ближайшему меньшему целому числу 
, либо больше или равно ближайшему большему целому числу +1. Определяя эти числа, находим симплексным методом решение двух задач линейного программирования: 
