Решения задач линейного программирования геометрическим методом (стр. 4 из 5)

х₁ + 4х₂ ≤ 84, х₂ = 16,09. , т. е. B(16,09; 19,64)

максимальное значение линейной функции равно :

F_max = 30*16,09 + 40*19,64 = 1232,80.

Итак, F_max= 1232,80 при оптимальном решении х₁ = 16,09, х₂ = 19,64, т. е. максимальная прибыль в 1232,80 ден. ед. может быть достигнута при производстве 16,09 единиц продукции А и 19,64 единиц продукции В.

Ответ: F_max= 1232,80.

Задача № 2

Для изготовления двух видов продукции Р₁ и Р₂ используют три вида сырья: S₁, S₂, S₃. Запасы сырья, количество единиц сырья, затрачиваемых на изготовление единицы продукции, а также величина прибыли, получаемая от реализации единицы продукции, приведены в таблице 2.1.

Таблица 2.1.

Вид сырья	Запас сырья	Количество единиц сырья, идущих на изготовление единицы продукции
		Р1	Р2
S1	20	2	5
S2	40	8	5
S3	30	5	6
Прибыль от единицы продукции, руб.		50	40

Необходимо составить такой план выпуска продукции, чтобы при ее реализации получить максимальную прибыль.

Решение.

Обозначим через х₁ количество единиц продукции Р₁, а через х₂ – количество единиц продукции Р₂. Тогда, учитывая количество единиц сырья, расходуемое на изготовление продукции, а так же запасы сырья, получим систему ограничений:

2х₁ + 5х₂ ≤ 20

8х₁ + 5х₂ ≤ 40

5х₁ + 6х₂ ≤ 30

которая показывает, что количество сырья, расходуемое на изготовление продукции, не может превысит имеющихся запасов. Если продукция Р₁ не выпускается, то х₁=0; в противном случае x₁ = 0. То же самое получаем и для продукции Р₂. Таким образом, на неизвестные х₁ и х₂ должно быть наложено ограничение неотрицательности: х₁ ≥ 0, х₂ ≥ 0.

Конечную цель решаемой задачи – получение максимальной прибыли при реализации продукции – выразим как функцию двух переменных х₁ и х₂. Реализация х₁ единиц продукции Р₁ и х₂ единиц продукции Р₂ дает соответственно 50х₁ и 40х₂ руб. прибыли, суммарная прибыль Z = 50х₁ + 40х₂ (руб.)

Условиями не оговорена неделимость единица продукции, поэтому х₁ и х₂ (план выпуска продукции) могут быть и дробными числами.

Требуется найти такие х₁ и х₂, при которых функция Z достинает максимум, т.е. найти максимальное значение линейной функции Z = 50х₁ + 40х₂ при ограничениях

2х₁ + 5х₂ ≤ 20

8х₁ + 5х₂ ≤ 40

5х₁ + 6х₂ ≤ 30

х₁ ≥ 0, х₂ ≥ 0.

Изобразим многоугольник решений данной задачи.

В ограничениях задачи поменяем знаки неравенства на знаки равенства.

Построим в программе Excelтаблицы нахождения точек пересечения линий с осями координат (Рисунок 1) и график (Рисунок 2).

Рисунок 1.

Рисунок 2.

Заштрихованная область, изображённая на рисунке, является областью допустимых значений функции Z. Т.к. целевая функция Z стремиться к max, то идя по направлению вектора n, получим точку C с оптимальным решением. Для определения ее координаты возьмем две прямые, на пересечении которых она образуется:

8х₁ + 5х₂ ≤ 40 х₁ = 3,91,

5х₁ + 6х₂ ≤ 30, х₂ = 1,74. , т. е. C(3,91; 1,74)

максимальное значение линейной функции равно :

Z_max = 50*3,91 + 40*1,74 = 265,10.

Итак, Z_max= 265,10 при оптимальном решении х₁ = 3,91, х₂ = 1,74, т. е. максимальная прибыль в 1232,80 ден. ед. может быть достигнута при производстве 3,91единиц продукции P₁ и 1,74 единиц продукции P₂.

Ответ: Z_max= 265,10.

Задача № 3

Питательные вещества	Число единиц питательных веществ в 1 кг корма		Необходимый минимум питательных веществ
	A	B
S1	3	1	8
S2	1	2	9
S3	1	6	12
Минимальная стоимость за 1 кг корма, в руб..	4	6	?

Имеется два вида корма. A и B, содержащие вещества(витамины) S₁, S₂, S₃. Содержание числа единиц питательных веществ в одном кг каждого вида корма и необходимый минимум самих питательных веществ даны в таблице:

Решение:

Пусть х₁ и х₂ – количество кормоввида А и В соответственно. В одном килограмме каждого вида корма содержится (3х₁ + х₂) единиц питательного вещества S₁,(x₁ + 2x₂) - S₂ и (x₁ + 6x₂) - S₃. Так количество питательных веществ не должно быть меньше необходимого минимума, то запишем следующую систему неравенств:

3х₁ + х₂ ≥ 8,

x₁ + 2x₂ ≥ 9,

x₁ + 6x₂ ≥ 12,

x₁, x₂ ≥ 0.

Минимальную стоимость витаминов за 1 кг корма, выразим следующей функцией : F = 4x₁ + 6x₂ => min.

Изобразим многоугольник решений данной задачи.

В ограничениях задачи поменяем знаки неравенства на знаки равенства.

Построим в программе Excelтаблицы нахождения точек пересечения линий с осями координат (Рисунок 1) и график (Рисунок 2).

Рисунок 1.

Рисунок 2.

Выделенная область, изображённая на рисунке, является областью допустимых значений функции F. Точка В - оптимальное решение. Для определения ее координаты возьмем две прямые, на пересечении которых она образуется:

x₁ + 2x₂ = 9, x₁ = 7,50,

x₁ + 6x₂ = 12, x₂ = 0,75.

Минимальное значение линейной функции равно :

F_min = 4*7.5 + 6*0.75 = 34.50.

Итак, F_min= 34.50 при оптимальном решении х₁ = 7.50, х₂ = 0.75.

Ответ: F_min= 34,50.

Задача № 4

Трикотажная фабрика использует для производства свитеров и кофточек шерсть, силикон и нитрон, запасы которых составляют 820, 430 и 310 кг. Количество пряжи каждого вида (в кг), необходимой для изготовления одного изделия, а также прибыль, получаемая от их реализации, приведены в таблице.

Вид сырья.	Нормы расхода пряжи.		Запас
	Свитера.	Кофточки.
Шерсть	0,4	0,2	820
Силон	0,2	0,1	430
Нитрон	0,1	0,1	310
Прибыль	7,8	5,6	?

Определить план выпуска изделий, максимизирующий прибыль.

Решение.

Пусть х₁ и х₂ – норма расхода пряжи для свитеров и кофточек соответственно. Количество пряжи каждого вида (в кг), необходимой для изготовления одного изделия запишем в следующую систему неравенств:

0,4х₁ + 0,2х₂ ≤ 820,

0,2x₁ + 0,1x₂ ≤ 430,

0,1x₁ + 0,1x₂ ≤ 310,

x₁, x₂ ≥ 0.

Максимальная прибыль от реализации свитеров и кофточек выразим следующей функцией : F = 7,8x₁ + 5,6x₂ => max.

Изобразим многоугольник решений данной задачи.

В ограничениях задачи поменяем знаки неравенства на знаки равенства.

Построим в программе Excelтаблицы нахождения точек пересечения линий с осями координат (Рисунок 1) и график (Рисунок 2).

Рисунок 1.

Рисунок 2.

Выделенная область, изображённая на рисунке, является областью допустимых значений функции F. Точка В - оптимальное решение. Для определения ее координаты возьмем две прямые, на пересечении которых она образуется:

0,4x₁ + 0,2x₂ = 820, x₁ = 1000,

0,1x₁ + 0,1x₂ = 310, x₂ = 2100.

Максимальное значение линейной функции равно :

F_max = 7.8*1000 + 5.6*2100 = 19560.

Итак, F_max= 19560 при оптимальном решении х₁ = 1000, х₂ = 2100.

Ответ: F_max= 19560.

Задача № 5

На звероферме могут выращиваться чёрно-бурые лисицы и песцы. Для обеспечения нормальных условий их выращивания используются три вида кормов. Определить, сколько лисиц и песцов следует выращивать на звероферме, чтобы прибыль от реализации их шкурок была максимальной.

Вид корма.	Кол-во единиц корма, которое должны получать.		Общее кол-во корма
	Лисица	Песец.
I	2	3	180
II	4	1	240
III	6	7	426
Прибыль	16	12	?

Решение: