Решения задач линейного программирования геометрическим методом (стр. 3 из 5)
Если в ЗЛП ограничения заданы в виде неравенств с двумя переменными, она может быть решена графически. Графический метод решения ЗЛП состоит из следующих этапов.
Этап 1.
Сначала на координатной плоскости x1Ox2 строится допустимая многоугольная область (область допустимых решений, область определения), соответствующая ограничениям:
1.6)Не приводя строгих доказательств, укажем те случаи, которые тут могут получится.
1. Основной случай - получающаяся область имеет вид ограниченного выпуклого многоугольника (рис. 1а).
2. Неосновной случай получается неограниченный выпуклый многоугольник, имеющий вид, подобный изображенному на рис. 1б. Подобная ситуация, например, получится, если в рассмотренном выше примере убрать ограничение х1 + х 2 ≤ 3. Оставшаяся часть будет неограниченным выпуклым многоугольником.
1.32) 
. При 
, а при . Таким образом, эта прямая проходит через точки (0, -1/2) и (1,0). так как 
(4.б).
м прямую 
. Она проходит через точки (0,3) и (3,0) и так как 0+0<3, то интересующая нас полуплоскость лежит ниже прямой, изображенной на рис. 4.в.
Рис. 7Вид сырья |  Нормы расхода сырья на одно изделие, кг  AB | Общее количество сырья, кг |
| I | 12 4 | 300 |
| II | 4 4 | 120 |
| III | 3 12 | 252 |
| Прибыль от реализации одного изделия, ден. ед. | 30 40 | ? |
Составить такой план выпуска продукции, при котором прибыль предприятия от реализации продукции будет максимальной при условии, что изделие В надо выпустить не менее, чем изделия А.Решение.
Обозначим через х1 и х2 количество единиц продукции соответственно А и В, запланированных к производству. Для их изготовления потребуется (12 х1 +4х2) единиц ресурса I, (4х1 +4х2) единиц ресурса II, (3х1 +12х2) единиц ресурса III. Так как, потребление ресурсов I, II, III не должно превышать их запасов, то связь между потреблением ресурсов и их запасами выразится системой неравенств:
12х1 +4х2 ≤ 300; 
3х1 + х2 ≤ 75; 
4х1 +4х2 ≤ 120; х1 + х2 ≤ 30;3х1 +12х2 ≤ 252. х1 +4х2 ≤ 84.
По смыслу задачи переменные х1 ≥ 0, х2 ≥0. (1,1)
Конечную цель решаемой задачи – получение максимальной прибыли при реализации продукции – выразим как функцию двух переменных х1 и х2.
Суммарная прибыль А составит 30х1 от реализации продукции А и 40х 2 от реализации продукции В, то есть : F = 30х1 +40х 2. (1,2)
Изобразим многоугольник решений данной задачи.
В ограничениях задачи поменяем знаки неравенства на знаки равенства.
Проведем оси: на горизонтальной будут указываться значения переменной х1, а на вертикальной — х2 .Далее рассмотрим условие неотрицательности переменных: x1 ≥ 0 и х2 ≥ 0. Эти два ограничения показывают, что пространство допустимых решений будет лежать в первом квадранте (т.е выше оси x1 и правее оси х2).
Чтобы учесть оставшиеся ограничения, проще всего заменить неравенства на равенства, в результате чего получится система уравнений прямых:
3х1 + х2 = 75;х1 + х2 = 30;
х1 +4х2 = 84.
а затем на плоскости провести эти прямые.
Например, неравенство 3х1 + х2 ≤ 75 заменяется уравнением прямой 3х1 + х2 = 75. Чтобы провести эту линию, надо найти две различные точки, лежащие на этой прямой Можно положить х1 = 0, тогда х2 = 75/1 = 75.. Аналогично для х2 = 0 находим x1 = 75/3 = 25. Итак, наша прямая проходит через две точки (0, 75) и (25;0). Аналогично найдём остальные точки и запишем их в таблицу 1.2..
Таблица 1.2.
| 3х1 +х2 ≤ 75; | х1 +х2 ≤ 30; | х1 +4х2 ≤ 84. | |||
| х1 | х2 | х1 | х2 | х1 | х2 |
| 0 | 75 | 0 | 30 | 0 | 21 |
| 25 | 0 | 30 | 0 | 84 | 0 |
Согласно данной таблицы, построим график в программе Excel.
Заштрихованная область, изображённая на рисунке, является областью допустимых значений функции F. Т.к. целевая функция F стремиться к max, то идя по направлению вектора n, получим точку B с оптимальным решением. Для определения ее координаты возьмем две прямые, на пересечении которых она образуется:
3х1 + х2 ≤ 75, х1 = 19,64,